Question

【题目】如图，在四棱柱中，侧面底面，，底面为直角梯形，其中，，，为中点．

（1）求证：平面；

（2）求锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）先证四边形为平行四边形，可得，进而由线面平行的判定定理可得结论；（2）先证底面，进而 可以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的坐标系，分别求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，再利用空间向量夹角余弦公式可得结果.

试题解析：（1）如图，连接、、、，

则四边形为正方形，所以，

所以四边形为平行四边形，

所以，

又平面，平面，

所以平面．

（2）因为，为中点，所以，

又侧面底面，

所以底面，

以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的坐标系，则，，，，

所以，，，，

设为平面的一个法向量，

由，，得

令，则，，∴，

又设为平面的一个法向量，

由，，得

令，则，，∴，

则，

故所求锐二面角的余弦值为．