Question

已知F₁、F₂是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，c为半焦距，相邻两顶点的距离为，椭圆C的离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线l：x+ky+1=0与椭圆C相交于A，B两点（A、B不是椭圆的顶点），以AB为直径的圆过椭圆C与y轴的正半轴的交点，求k的值；
（Ⅲ）过F₂的直线交椭圆C于M、N，求△MF₁N面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）直接由已知：a²+b²=3，，求出=，b=1；即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）联立直线方程与椭圆方程求出A、B两点的坐标之间的关系；再结合以AB为直径的圆过椭圆C与y轴的正半轴的交点P（0，1）的对应结论AP⊥BP即可求出k的值；（注意得到两个值时一定要检验）
（Ⅲ）设M，N两点的坐标分别为（e，f），（g，h）．先由=+=|F_!F₂|•|f-h|=c•|f-h|，转化为求|f-h|的最大值；再联立直线方程与椭圆方程结合韦达定理求出|f-h|的表达式，再利用基本不等式求出|f-h|的最大值即可求△MF₁N面积的最大值．
解答：解：（Ⅰ）由已知可得  a²+b²=3，，
∴a=，b=1．
∴椭圆的方程为  =1．（3分）
（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）
将直线x+ky+1=0代入椭圆方程=1中，整理得
（k²+2）y²+2ky-1=0
∵△=4k²+4（k²+2）=8k²+8＞0
∴，y₁•y₂=．
∴x₁•x₂=（-ky₁-1）•（-ky₂-1）=k²y₁•y₂+k（y₁+y₂）+1=
∵以AB为直径的圆过椭圆与y轴正半轴的交点P（0，1），
∴AP⊥BP
∴k_AP•K_BP=-1
∴=-1
∴y₁y₂-（y₁+y₂）+x₁x₂+1=0
∴+1=0．
整理得  k²-2k-3=0
∴k=-1，k=3
当k=-1时，直线x-y+1=0过椭圆的一个顶点（0，1），与已知矛盾，舍去．
∴k值为3．（8分）
（Ⅲ）设M，N、两点的坐标分别为（e，f），（g，h）．
直线MN与x轴夹角为α
由=+=|F_!F₂|•|f-h|=c•|f-h|
∴当|f-h|取得最大时，取得最大值．
设过F₂的直线为y=k（x-1），（k存在）
代入椭圆方程中，整理得
（y²+y-1=0
∴f+h=，fh=．
∴|f-h|²=（f+h）²-4fh==
∴|f-h|²==
当k不存在时，也满足上式．
∴|f-h|=2=2•≤
当且仅当sinα=即sinα=1时，等号成立．
∴△MF₁N的面积的最大值为．（14分）
点评：此题是个难题．本题考查了直线与椭圆的位置关系，椭圆的标准方程，弦长公式和基本不等式的应用，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．