Question

已知△ABC是椭圆的内接三角形，F是椭圆的上焦点，且原点O是△ABC的重心．
（1）求A，B，C三点到F距离之和；
（2）若，求椭圆的方程和直线BC的方程．

Answer 1

解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）
，则|AF|=a-ey₁，|BF|=a-ey₂，|CF|=a-ey₃，|AF|+|BF|+|CF|=3a-e（y₁+y₂+y₃），（3分）
因为△ABC的重心在原点O，∴，
又a=3，
∴|AF|+|BF|+|CF|=9；（5分）
（2）设直线AO交BC于M，交椭圆于N，
因为△ABC的重心在原点O，
∴，
又|BM|=|MC|，
所以四边形OBNC为平行四边形，（7分）
∴，点N的坐标为，
代入椭圆方程得，b²=8，椭圆的方程，（9分）
结合，
由，，相减得，，（11分）
所以直线BC的方程，即6x+2y-9=0．（12分）
分析：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），则|AF|=a-ey₁，|BF|=a-ey₂，|CF|=a-ey₃，|AF|+|BF|+|CF|=3a-e（y₁+y₂+y₃），由△ABC的重心在原点O，知，再由a=3能导出|AF|+|BF|+|CF|的值．
（2）设直线AO交BC于M，交椭圆于N，，又|BM|=|MC|，所以四边形OBNC为平行四边形，由此入手能够得到椭圆的方程和直线BC的方程．
点评：本题考查椭圆第二定义、焦半径公式、三角形重心坐标公式、向量加法几何意义、及坐标运算、点差法等．
规律总结：（1）若P（x，y）为椭圆上一点，则P到左焦点F₁与到右焦点F₂的距离即焦半径分别为|PF₁|=a+ex，|PF₂|=a-ex；若P（x，y）为椭圆上一点，则P到下焦点F₁与到上焦点F₂的距离即焦半径分别为|PF₁|=a+ey，|PF₂|=a-ey；（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），则三角形△ABC重心坐标公式，；（3）设椭圆方程为：（a＞b＞0），k_AB表示椭圆以A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）为端点的弦AB的斜率，令M（X₀，Y₀）为弦AB的中点，M与椭圆中心O连线的斜率为k_OM，则有；对于双曲线：（a＞0，b＞0），同理可得；对于抛物线x²=±2py或y²=±2px，也可有或．在研究直线与二次曲线问题时，将这结论适当加以应用，常会使问题的解决变得很简便．