Question

函数 f（x）=cosx，（x∈R）．
（1）若函数g（x）=f²（x）+sinxcosx，求函数g（x）的单调递减区间；
（2）若h（x）=f（2x）+asinx，在x∈R上的最大值为1，求a的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）化简g（x）的解析式为，由2kπ+，k∈Z，解得x的范围即为所求．
（2）化简h（x）的解析式为，分＞1、、＜-1三种情况分别根据其最大值
求出a的值．
解答：解：（1）g（x）=cos²x+sinxcosx=，
由2kπ+，k∈Z，解得 ，
故函数g（x）的单调递减区间是 ．
（2）h（x）=cos2x+asinx=1-2sin²x+asin，
由于sinx∈[-1，1]，h（x）的最大值为1，则
①若＞1，即a＞4时，则sinx=1时有最大值，∴-1+a=1，∴a=2，（舍去）．
②若-1≤=1，∴a=0，合乎题意．
③若＜-1，即a＜-4时，怎sinx=-1有最大值．-1-a=1⇒a=-2，（舍去）．
综上，a=0．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的单调性及最值的求法，体现了分类讨论的数学思想．