Question

如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E、F分别为AC、DC的中点.

(1)求证:EF⊥BC;

(2)求二面角EBFC的正弦值.

Answer 1

 (1)证明:法一　过E作EO⊥BC,垂足为O,连OF.

由△ABC≌△DBC可证出△EOC≌△FOC.

所以∠EOC=∠FOC=,

即FO⊥BC.

又EO⊥BC,

因此BC⊥平面EFO,

又EF⊂平面EFO,

所以EF⊥BC.

法二　由题意,以B为坐标原点,在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴,BC所在直线为y轴,在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴,建立如图2所示空间直角坐标系.

易得B(0,0,0),A(0,-1,),

D(,-1,0),C(0,2,0).

因而E(0,,),F(,,0),

所以=(,0,-),=(0,2,0),

因此·=0.

从而⊥,

所以EF⊥BC.

(2)解:法一　在图1中,过O作OG⊥BF,垂足为G,连EG.

由平面ABC⊥平面BDC,

从而EO⊥平面BDC,

又OG⊥BF,

由三垂线定理知EG⊥BF.

因此∠EGO为二面角EBFC的平面角.

在△EOC中,EO=EC=BC·cos 30°=,

由△BGO∽△BFC知,OG=·FC=,

因此tan∠EGO==2,

从而sin∠EGO=,

即二面角EBFC的正弦值为.

法二　在图2中,平面BFC的一个法向量为n₁=(0,0,1).

设平面BEF的法向量为n₂=(x,y,z),

又=(,,0),=(0,,).

由

得其中一个n₂=(1,-,1).

设二面角EBFC的大小为θ,

且由题意知θ为锐角,

则cos θ=|cos<n₁,n₂>=||=,

因此sin θ==,

即所求二面角的正弦值为.