Question

3．已知ABCD是平行四边形，PA⊥ABCD所在平面，E，F分别是PC，AB的中点．
（Ⅰ）若PC⊥BD，判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论；
（Ⅱ）若AC=BD，当PD与平面所成角为多少时，EF⊥平面PDC，并证明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意，画出图形，利用线面平行的判定定理和性质定理，可知AC⊥BD，由对角线互相垂直的平行四边形是菱形．即可得出结论．
（Ⅱ）由AC=BD，可得ABCD是矩形，以A为原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，设：B（x，0，0），D（0，y，0），P（0，0，z），则可求：$\overrightarrow{FE}$=（0，$\frac{y}{2}$，$\frac{z}{2}$），$\overrightarrow{PC}$=（x，y，-z），$\overrightarrow{PD}$=（0，y，-z），
若EF⊥平面PDC，则则$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{FE}$=0，$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{FE}$=0，整理可得：y=z，可求PD与平面所成角为$\frac{π}{4}$．

解答 解：（Ⅰ）根据题意，画出图形如图，
∵PA垂直平行四边形ABCD所在平面，
∴PA⊥BD，
又∵PC⊥BD，PA?平面ABCD，PC?平面ABCD，PA∩PC=P．
∴BD⊥平面PAC
又∵AC?平面PAC
∴AC⊥BD
又ABCD是平行四边形
∴平行四边形ABCD一定是菱形．
（Ⅱ）若AC=BD，当PD与平面所成角为$\frac{π}{4}$时，EF⊥平面PDC，
证明：∵AC=BD，ABCD是平行四边形，
∴ABCD是矩形，
如图，以A为原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，设：B（x，0，0），D（0，y，0），P（0，0，z），则A（0，0，0），C（x，y，0），E（$\frac{x}{2}$，$\frac{y}{2}$，$\frac{z}{2}$），F（$\frac{x}{2}$，0，0），
可求：$\overrightarrow{FE}$=（0，$\frac{y}{2}$，$\frac{z}{2}$），$\overrightarrow{PC}$=（x，y，-z），$\overrightarrow{PD}$=（0，y，-z），
∵EF⊥平面PDC，
∴则$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{FE}$=0，$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{FE}$=0，可得：$\frac{y}{2}×y+\frac{z}{2}×（-z）=0$，整理可得：y=z，
∴tan∠PDA=$\frac{PA}{AD}$=$\frac{z}{y}$=1，即PD与平面所成角为$\frac{π}{4}$．得证．

点评 本题主要考查了学生的空间想象能力及线面垂直的判定与性质．考查了空间向量的应用，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．