Question

（2013•合肥二模）在锐角△ABC 中，角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，且 bsinAcosB=（2c-b）sinBcosA．
（I）求角A；
（II）已知向量

m

=（sinB，cosB），

n

=（cos2C，sin2C），求|

m

+

n

|的取值范围．

Answer 1

分析：（I）在锐角△ABC 中，由 bsinAcosB=（2c-b）sinBcosA利用正弦定理可得 sinBsin（A+B）=2sinCsinBcosA，解得cosA=

1

2

，从而求得A的值．
（Ⅱ）由题意可得

m

+

n

=（sinB+cos2C，cosB+sin2C），(

m

+

n

)2=（sinB+sin2C）²+（cosB+cos2C）²=2+2sin（

2π

3

+C）．由

π

6

＜C＜

π

2

，再根据正弦函数的定义域和值域求得 2+2sin（

2π

3

+C）的范围，从而求得|

m

+

n

|的取值范围．

解答：解：（I）在锐角△ABC 中，由 bsinAcosB=（2c-b）sinBcosA利用正弦定理可得
sinBsinAcosB=2sinCsinBcosA-sinBsinBcosA，
故有sinBsin（A+B）=2sinCsinBcosA，解得cosA=

1

2

，∴A=

π

3

．
（Ⅱ）由题意可得

m

+

n

=（sinB+cos2C，cosB+sin2C），(

m

+

n

)2=（sinB+sin2C）²+（cosB+cos2C）²=2+2sin（B+2C）=2+2sin（

2π

3

+C）．
由于

π

6

＜C＜

π

2

，∴

5π

6

＜

2π

3

+C＜

7π

6

，
∴-

1

2

＜sin（

2π

3

+C）＜

1

2

，∴1＜2+2sin（

2π

3

+C）＜3，
故|

m

+

n

|的取值范围为（1，

3

）．

点评：本题主要考查正弦定理、三角函数的恒等变换，正弦函数的定义域和值域，求向量的模的方法，属于中档题．