Question

（2013•合肥二模）定义域为R的奇函数f（x ）的图象关于直线．x=1对称，当x∈[0，1]时，f（x）=x，方程 f（x）=log₂₀₁₃x实数根的个数为
（　　）

A．1006

B．1007

C．2012

D．2014

Answer 1

分析：可根据定义在R上的奇函数f（x）的图象关于直线x=1对称⇒f（x+4）=f（x），再利用0≤x≤1时，f（x）=x，数形结合，可求得方程f（x）=log₂₀₁₃x的所有实根的个数．

解答：解：∵函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，
∴f（2-x）=f（x），又y=f（x）为奇函数，
∴f（x+2）=f（-x）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），即f（x）的周期为4，
又定义在R上的奇函数，故f（0）=0，
f（x）=log₂₀₁₃x实数根的个数，即y=f（x）和y=log₂₀₁₃x的交点个数，
同一坐标系里作出y=f（x）和y=log₂₀₁₃x的图象，
∵当0＜x≤4时，图象有1个交点，当4＜x≤8时，图象有2个交点，…；
根据周期性，y=f（x）和y=log₂₀₁₃x的图象有1+502×2+1=1006个交点．
故选A．

点评：本题考查根的存在性及根的个数判断及奇偶函数图象的对称性，关键在于判断f（x）的周期为4，再结合“0＜x≤1时，f（x）=x”与奇函数f（x）的图象关于直线x=1对称，数形结合予以解决，属于中档题．