Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n=2a_n-1+2ⁿ+3，求{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：把给出的递推式两边同时乘以

1

2n

，然后分别取n=1，2，3，…，n，然后利用累加法求解．

解答： 解：由a_n=2a_n-1+2ⁿ+3，得：

an

2n

=

an-1

2n-1

+

3

2n

+1（n≥2）．
则

a2

22

=

a1

21

+

3

22

+1，

a3

23

=

a2

22

+

3

23

+1，

a4

24

=

a3

23

+

3

24

+1，
…

an

2n

=

an-1

2n-1

+

3

2n

+1．
累加得：

an

2n

=

a1

2

+3(

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

)+n-1，
∴

an

2n

=

1

2

+3×

1 4 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

+n-1，
则an=(n+1)•2n-3．

点评：本题考查了数列递推式，考查了累加法求数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是中档题．