Question

18．已知函数f（x）=log₂（|x+1|+|x-2|-a）．
（Ⅰ）当a=7时，求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥3的解集是R，求实数a的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）a=7时便可得出x满足：|x+1|+|x-2|＞7，讨论x，从而去掉绝对值符号，这样便可求出每种情况x的范围，求并集即可得出函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）由f（x）≥3即可得出|x+1|+|x-2|≥a+8恒成立，而可求出|x+1|+|x-2|≥3，这样便可得出3≥a+8，解出该不等式即可得出实数a的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由题设知：|x+1|+|x-2|＞7；
①当x＞2时，得x+1+x-2＞7，解得x＞4；
②当1≤x≤2时，得x+1+2-x＞7，无解；
③当x＜-1时，得-x-1-x+2＞7，解得x＜-3；
∴函数f（x）的定义域为（-∞，-3）∪（4，+∞）；
（Ⅱ）解：不等式f（x）≥3，即|x+1|+|x-2|≥a+8；
∵x∈R时，恒有|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3；
又不等式|x+1|+|x-2|≥a+8解集是R；
∴a+8≤3，即a≤-5；
∴a的最大值为-5．

点评 本题考查对数的真数大于0，函数定义域的定义及求法，不等式的性质，以及含绝对值不等式的解法，恒成立问题的处理方法．