Question

已知数列｛a_n｝、｛b_n｝、｛c_n｝的通项公式满足b_n=a_n+1-a_n，c_n=b_n+1-b_n（n∈N⁺），若数列｛b_n｝是一个非零常数列，则称数列｛a_n｝是一阶等差数列；若数列｛c_n｝是一个非零常数列，则称数列｛a_n｝是二阶等差数列?

（1）试写出满足条件a₁＝1,b₁=1，c_n=1（n∈N⁺）的二阶等差数列｛a_n｝的前五项；

（2）求满足条件(1)的二阶等差数列｛a_n｝的通项公式a_n；

（3）若数列｛a_n｝首项a₁＝2，且满足c_n-b_n+1+3a_n＝-2ⁿ⁺¹（n∈N⁺），求数列｛a_n｝的通项公式

Answer 1

（1）a₁=1，a₂=2，a₃=4，a₄=7，a₅=11

（2）a_n＝(n²-n+2)/2

（3）a_n=4ⁿ-2ⁿ

 （1）a₁=1，a₂=2，a₃=4，a₄=7，a₅=11
（2）依题意b_n+1-b_n=c_n=1，n=1，2，3，…
所以b_n=（b_n-b_n-1）＋（b_n-1-b_n-2）＋（b_n-2-b_n-3）＋…+（b₂-b₁）+b₁=1+1+1+…+1=n
又a_n+1-a_n=b_n＝n，n=1，2，3，…所以a_n＝（a_n-a_n-1）＋（a_n-₁-a_n-2）＋（a_n-2-a_n-3）＋…+（a₂-a₁）＋a_１
=（n-1）+（n-2）+…+2+1+1=n（n-1）/2+1=(n²-n+2)/2 
（3）由已知c_n-b_n+1＋3a_n= -2ⁿ⁺¹，可得b_n+1-b_n-b_n+1+3a_n＝-2ⁿ⁺¹，即b_n-3a_n=2ⁿ⁺¹，∴a_n+1=4a_n+2ⁿ⁺¹．
解法一：整理得：a_n+1＋2ⁿ⁺¹=4（a_n+2ⁿ），
因而数列｛a_n+2ⁿ｝是首项为a₁+2=4，公比为4的等比数列，
∴a_n+2ⁿ＝4·4^n-1＝4ⁿ，即a_n=4ⁿ-2ⁿ
解法二：在等式a_n+1＝4a_n+2ⁿ⁺¹两边同时除以2ⁿ⁺¹得：a_n+1/2ⁿ⁺¹=2·a_n/2ⁿ＋１
令k_n=a_n/2ⁿ，则k_n+1＝2k_n+1，即k_n+1＋１＝2（k_n+1）
故数列｛k_n+1｝是首项为2，公比为2的等比数列所以k_n+1=2·2^n-1＝2ⁿ，即k_n=2ⁿ-1．
∴a_n=2ⁿk_n=2ⁿ（2ⁿ-1）=4ⁿ-2ⁿ
解法三：∵a_１＝2，∴a₂＝12＝2^２×（2^２-1），a₃＝56＝2^３×（2^３-1），a₄＝32＝2^４×（2^４-1）
猜想：a_n=2ⁿ（2ⁿ-1）＝4ⁿ-2ⁿ
下面用数学归纳法证明如下：（i）当n=1时，a_１＝2＝4-2，猜想成立；
（ii）假设n=k时，猜想成立，即a_k=4^k-2^k．那么当n=k+1时，a_k+1＝4a_k+2^k+1＝4（4^k-2^k）＋2^k+1=4^k+1-2^k+1，结论也成立∴由（i）、（ii）可知，a_n=4ⁿ-2ⁿ