Question

已知数列{log2(an-2)}(n∈N*)为等差数列，且a₁=5，a₃=29．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）对任意n∈N^*，

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

＜m恒成立的实数m是否存在最小值？如果存在，求出m的最小值；如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）设等差数列{log₃（a_n-2）}的公差为d．根据a₁和a₃的值求得d，进而根据等差数列的通项公式求得数列{log₃（a_n-2）}的通项公式，进而求得a_n．
（2）把（1）中求得的a_n代入

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

中，进而根据等比数列的求和公式求得

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

=1-

1

2n

，即可得出答案．

解答：解：（1）设等差数列{log₃（a_n-2）}的公差为d．
由a₁=5，a₃=29得log₃27=log₃3+2d，即d=1．
所以log₂（a_n-2）=1+（n-1）×1=n，即a_n=2ⁿ+2．
（2）证明：因为

1

an+1-an

=

1

2n+1-2n

=

1

2n

，
所以

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

=

1

21

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

=

1 2  - 1 2n × 1 2

1- 1 2

=1-

1

2n

，
要

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

＜m恒成立，
即1-

1

2n

＜m，由于1-

1

2n

＜1，
∴m≥1．
故存在m的最小值1，使得对任意n∈N^*，

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

＜m恒成立．

点评：本题考查等差、等比数列的性质与存在性问题，注意与对数函数或指数函数的结合运用时，往往同时涉及等比、等差数列的性质，是一个难点．