Question

（2010•抚州模拟）已知数列{log₂（a_n-1）}（n∈N^*）为等差数列，且a₁=3，a₂=5，则

lim

n→∞

(

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

)=

1

．

Answer 1

分析：由题意，可先由数列{log₂（a_n-1）}（n∈N^*）为等差数列，且a₁=3，a₂=5得出数列{log₂（a_n-1）}的首项为1，公差为1，由此解出log₂（a_n-1）=1+（n-1）×1=n，从而求出a_n=1+2ⁿ，再研究a_n+1-a_n=2ⁿ⁺¹+1-2ⁿ-1=2ⁿ即可得出

lim

n→∞

(

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

)=

lim

n→∞

(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

)，结合等比数列的求和公式计算出所求的极限即可

解答：解：数列{log₂（a_n-1）}（n∈N^*）为等差数列，且a₁=3，a₂=5
数列的公差为log₂4-log₂2=1，
故log₂（a_n-1）=1+（n-1）×1=n，即a_n-1=2ⁿ，a_n=1+2ⁿ，
∴a_n+1-a_n=2ⁿ⁺¹+1-2ⁿ-1=2ⁿ
∴

lim

n→∞

(

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

)=

lim

n→∞

(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

)=

lim

n→∞

(

1 2 ×(1- 1 2n )

1- 1 2

)=

lim

n→∞

(1-

1

2n

)=1
故答案为1

点评：本题考查数列与极限的综合，考查了等差数列的性质，通项公式，对数的运算，等比数列的求和等，涉及到的知识点多，综合性强，解题的关键是由题设条件求出a_n=1+2ⁿ，难度较高