Question

（2010•抚州模拟）已知：数列{a_n}，{b_n}中，a₁=0，b₁=1，且当n∈N^*时，a_n，b_n，a_n+1成等差数列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比数列．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求最小自然数k，使得当n≥k时，对任意实数λ∈[0，1]，不等式（2λ-3）b_n≥（2λ-4）a_n+（λ-3）恒成立；
（3）设dn=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

（n∈N^*），求证：当n≥2都有dn2＞2(

d2

2

+

d3

3

+…+

dn

n

)．

Answer 1

分析：（1）依题意2b_n=a_n+a_n+1，a_n+²₁=b_n•b_n+1．变形得2

bn

=

bn-1

+

bn+1

，利用等差数列的性质求出{

bn

}，利用等比数列的通项公式求出公比，进一步求出通项．
（2）将a_n，b_n代入不等式整理得：（2n-1）λ+n²-4n+3≥0，令f（λ）=（2n-1）λ+n²-4n+3，则f（λ）是关于λ的一次函数，由题意可得关于n的不等关系，解得n的取值范围，从而得到存在最小自然数k=3，使得当n≥k时，不等式（*）恒成立；
（3）由（1）得dn=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

．从而dn-dn-1=

1

n

，dn+dn-1=2dn-

1

n

（n≥2），dn2-

d

2 n-1

=2

dn

n

-

1

n2

，由（d_n²-d_n-1²）+（d_n-1²-d_n-2²）+…+（d₂²-d₁²）=2(

d2

2

+

d3

3

+

d4

4

+…+

dn

n

）-(

1

22

+

1

32

+

1

42

+…+

1

n2

)，据其特点是由一个等差数列与一个等比数列的减构成，利用分组法求出数列的前n项和即可得到证明．

解答：解：（1）依题意2b_n=a_n+a_n+1，a_n+²₁=b_n•b_n+1．又∵a₁=0，b₁=1，∴b_n≥0，a_n≥0，且2bn=

bn-1bn

+

bnbn+1

，
∴2

bn

=

bn-1

+

bn+1

（n≥2），∴数列{

bn

}是等差数列，又b₂=4，
∴

bn

=n，n=1也适合．∴b_n=n²，a_n=（n-1）n．（4分）
（2）将a_n，b_n代入不等式（2λ-3）b_n≥（2λ-4）a_n+（λ-3）（*）
整理得：（2n-1）λ+n²-4n+3≥0         （6分）
令f（λ）=（2n-1）λ+n²-4n+3，则f（λ）是关于λ的一次函数，由题意可得

f(0)≥0 f(1)≥0

，
∴

n2-4n+3≥0 n2-2n+2≥0

，解得n≤1或n≥3．∴存在最小自然数k=3，使得当n≥k时，不等式（*）恒成立．（8分）
（3）由（1）得dn=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

．∴dn-dn-1=

1

n

，dn+dn-1=2dn-

1

n

（n≥2），
∴dn2-

d

2 n-1

=2

dn

n

-

1

n2

（10分）
由（d_n²-d_n-1²）+（d_n-1²-d_n-2²）+…+（d₂²-d₁²）=2(

d2

2

+

d3

3

+

d4

4

+…+

dn

n

）-(

1

22

+

1

32

+

1

42

+…+

1

n2

)，
即：d_n²=2（

d2

2

+

d3

3

+

d4

4

+…+

dn

n

）-(

1

22

+

1

32

+

1

42

+…+

1

n2

)+1（12分）
∵

1

22

+

1

32

+

1

42

+…+

1

n2

＜

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

(n-1)n

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n

=1-

1

n

＜1．
∴当n≥2时，d_n²＞2（

d2

2

+

d3

3

+

d4

4

+…+

dn

n

）．　　     （14分）

点评：本小题主要考查函等差数列、等比数列、数列与不等式的综合、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．求数列的前n项和，首先求出数列的通项，根据数列通项的特点，选择合适的求和方法．