Question

已知{a_n}是等比数列，公比q＞1，前n项和为Sn，且

S3

a2

=

7

2

，a4=4，数列{bn}满足：bn=

1

n+log2an+1

．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设数列{b_nb_n+1}的前n项和为T_n，求证

1

3

≤Tn＜

1

2

(n∈N*)．

Answer 1

分析：（1）由{a_n}是等比数列，公比q＞1，且

S3

a2

=

7

2

，a₄=4，利用等比数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出a1=

1

2

，q=2，由此能求出a_n，再由a_n能求出b_n．
（2）由b_n=

1

2n-1

，设c_n=b_nb_n+1=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，由此利用裂项求和法求出数列{b_nb_n+1}的前n项和为T_n，由此能够证明

1

3

≤Tn＜

1

2

(n∈N*)．

解答：解：（1）∵{a_n}是等比数列，公比q＞1，且

S3

a2

=

7

2

，a₄=4，
∴

a1(1-q3) a1q(1-q) = 7 2 a1q3=4

，解得a1=

1

2

，q=2，
∴an=

1

2

×2n-1=2^n-2．
∴b_n=

1

n+log2an+1

=

1

n+log22n-1

=

1

2n-1

，
（2）设c_n=b_nb_n+1=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

（1-

1

2n+1

）
=

1

2

-

1

4n+2

＜

1

2

，
因为T_n＜T_n+1，所以

1

3

=T1≤Tn＜

1

2

，n∈N^*．
故

1

3

≤Tn＜

1

2

(n∈N*)．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明．解题时要认真审题，注意等比数列的性质和裂项求和法的合理运用．