Question

已知椭圆的焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0），直线l：x-y+5=0，则
（1）经过直线l上一点P且长轴长最短的椭圆方程为

 

，（2）点P的坐标是

 

．

Answer 1

分析：（1）先设椭圆方程，然后与直线方程联立方程组，再根据该方程组有解即可求出a的最小值，则问题解决．
（2）根据（1）解方程25x²+10×13x+13²=0，即可求出点P的横坐标，代入直线方程即可求得其纵坐标，从而求出点P的坐标．

解答：解：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

a2-1

=1（a²＞1），
由

x2 a2 + y2 a2-1 =1 x-y+5=0

得（2a²-1）x²+10a²x+26a²-a⁴=0，
由题意，x此方程有解，∴△=（10a²）²-4（2a²-1）（26a²-a⁴）≥0，
∴a²≥13或a²≤1（舍），
∴a²_min=13，此时椭圆方程是

x2

13

+

y2

12

=1．
（2）由（1）解方程25x²+10×13x+13²=0，
得x=-

13

5

，y=

12

5

，即点P的坐标为(-

13

5

，

12

5

)
故答案为：

x2

13

+

y2

12

=1；(-

13

5

，

12

5

)．

点评：本题主要考查由代数方法解决直线与椭圆交点问题，考查运算能力，属中档题．