Question

已知椭圆的焦点为F₁（-1，0）、F₂（1，0），直线x=4是它的一条准线．
（1）求椭圆的方程；
（2）设A₁、A₂分别是椭圆的左顶点和右顶点，P是椭圆上满足|PA₁|-|PA₂|=2的一点，求tan∠A₁PA₂的值；
（3）若过点（1，0）的直线与以原点为顶点、A₂为焦点的抛物线相交于点M、N，求MN中点Q的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）根据焦点坐标得c，根据准线方程x=4可得a²，再根据b²=a²-c²求得b²，把a²和b²代入标准方程即可．
（2）由题设知，点P在以A₁、A₂为焦点，实轴长为2的双曲线的右支上．根据（1）中的标准方程，可求得A₁和A₂的坐标，根据题意可知p点为椭圆和双曲线的交点，设双曲线方程为

x2

m2

-

y2

n2

=1，根据焦点和准线方程．分别可求得m和n，进而可得双曲线方程，根据椭圆和双曲线的标准方程，进而可求得点p的坐标，进而求得tan∠A₁PA₂的值．
（3）由题设知，抛物线方程为y²=8x．设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），代入抛物线方程，设点Q（x，y）进而可得点Q的坐标，把y₁²=8x₁和y₂²=8x₂两式相减，然后把点Q的坐标（x，y）代入即可得到x与y的关系式，进而得到点Q的轨迹方程

解答：解：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
由题设有c=1，

a2

c

=4，
∴a²=4
∴b²=a²-c²=3．
所求椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）由题设知，点P在以A₁、A₂为焦点，实轴长为2的双曲线的右支上．
由（1）知A₁（-2，0），A₂（2，0），
设双曲线方程为

x2

m2

-

y2

n2

=1（m＞0，n＞0）．
则2m=2，m²+n²=4，
解得m=1，n=

3

．
∴双曲线方程为x²-

y2

3

=1．
由

x2

4

+

y2

3

=1，x²-

y2

3

=1，
解得P点的坐标为（

2 10

5

，

3 5

5

）或（

2 10

5

，-

3 5

5

）．
当P点坐标为（

2 10

5

，

3 5

5

）时，tan∠A₁PA₂=

kPA2-kPA1

1+kPA2kPA1

=-4

5

．
同理当P点坐标为（

2 10

5

，-

3 5

3

）时，
tan∠A₁PA₂=-4

5

．
故tan∠A₁PA₂=-4

5

．
（3）由题设知，抛物线方程为y²=8x．
设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），MN的中点Q（x，y），
当x₁≠x₂时，有
y₁²=8x₁，①
y₂²=8x₂，②
x=

x1+x2

2

，③
y=

y1+y2

2

，④

y1-y2

x1-x2

=

y

x-1

．⑤
①-②，得

y1-y2

x1-x2

（y₁+y₂）=8，
将④⑤代入上式，有

y

x-1

•2y=8，
即y²=4（x-1）（x≠1）．
当x₁=x₂时，MN的中点为（1，0），仍满足上式．
故所求点Q的轨迹方程为y²=4（x-1）．

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程的问题．椭圆的问题常与双曲线、抛物线和直线等问题一同考查，属高考的常考题目．