Question

【题目】己知椭圆: 上动点PQ,O为原点;

(1)若,求证:为定值;

(2)点,若,求证:直线过定点;

(3)若,求证:直线为定圆的切线;

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析

【解析】

（1）设，由题意可知，将代入椭圆方程，求得，利用直线的斜率公式，即可求证为定值；
（2）将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，即可求得的值，则直线过定点；
（3）设，则方程为：，分别代入椭圆方程，利用韦达定理及三角形的性质，到直线的距离为定值，即可求得直线为定圆

的切线，再验证中有一个斜率不存在的情况即可.

证明：（1）由题意可知：设，

，
由在椭圆上，则，

代入得：

整理得：，
则
∴为定值；
（2）易知，直线的斜率存在，设其方程为，设，
，消去，整理得，
则 ，
由，且直线的斜率均存在，
，整理得，
因为，
所以，
整理得，
.
解得，或（舍去）.
∴直线恒过定点；
（3）当斜率都存在时，

设方程为：，，
则方程为：，
联立，可得：，
，
同理可得：
则到直线的距离，即为斜边上的高，

，（定值）.
当的斜率有一个不存在时，

此时直线为连接长轴和短轴端点的一条直线，方程为，

圆心到其距离为，

综合得：直线为定圆的切线.