【题目】已知函数
(Ⅰ)若函数的图像在点
处的切线与直线
平行,求实数
的值;
(Ⅱ)讨论函数的单调性;
(Ⅲ)若在函数定义域内,总有
成立,试求实数
的最大值.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ)
【解析】试题分析:(1)先根据导数几何意义得,解得实数
的值;(2)求导数并分解因式,根据a与1的大小分类讨论导函数符号,根据导函数符号确定函数
的单调性;(3)先化简不等式,并根据不等式恒成立转化为对应函数最值问题:
最大值不大于零,再利用导数求得函数最值
从而有的最大值,最后利用导数求得
最大值,即得实数
的最大值.
试题解析:(Ⅰ)易得,且
由题意,得,解得
,
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,
①当时,
,
函数
在
单调递减,
②当时,由
,得
;
由,得
或
函数
在
上单调递增,在
上单调递减.
③当时,同理,得
函数在
上单调递增,在
上单调递减,
综上,当时,函数
在
单调递减;
当时,函数
在
上单调递增,在
上单调递减;
当时,函数
在
上单调递增,在
上单调递减.
(Ⅲ)由题意,知恒成立,
恒成立,
恒成立,
令,则只需
,
由,得
,
当
时,
,此时,函数
在
上单调递减;
当时,
,此时,函数
在
上单调递减,
令,则只需
由,得
,此时,
在
上单调递减,
由,得
,此时,
在
上单调递减,
,
即
故所求实数的最大值为
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【题目】定义在上的函数
,若
,有
,则称函数
为定义在
上的非严格单增函数;若
,有
,则称函数
为定义在
上的非严格单减函数.
.
(1)若函数为定义在
上的非严格单增函数,求实数
的取值范围.
(2)若函数为定义在
上的非严格单减函数,试解不等式
.
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【题目】某特色餐馆开通了美团外卖服务,在一周内的某特色菜外卖份数(份)与收入
(元)之间有如下的对应数据:
外卖份数 | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 |
收入 | 30 | 40 | 60 | 50 | 70 |
(1)画出散点图;
(2)求回归直线方程;
(3)据此估计外卖份数为12份时,收入为多少元.
注:①参考公式:线性回归方程系数公式,
;
②参考数据: ,
,
.
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【题目】所谓正三棱锥,指的是底面为正三角形,顶点在底面上的射影为底面三角形中心的三棱锥,在正三棱锥S﹣ABC中,M是SC的中点,且AM⊥SB,底面边长AB=2 ,则正三棱锥S﹣ABC的体积为 , 其外接球的表面积为 .
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【题目】已知命题P:x1 , x2是方程x2﹣mx﹣1=0的两个实根,且不等式a2+4a﹣3≤|x1﹣x2|对任意m∈R恒成立;命题q:不等式ax2+2x﹣1>0有解,若命题p∨q为真,p∧q为假,求实数a的取值范围.
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【题目】设圆满足:(1)截
轴所得弦长为2;(2)被
轴分成两段圆弧,其弧长的比为
.在满足条件(1)、(2)的所有圆中,圆心到直线
的距离最小的圆的方程为__________.
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【题目】某特色餐馆开通了美团外卖服务,在一周内的某特色菜外卖份数(份)与收入
(元)之间有如下的对应数据:
外卖份数 | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 |
收入 | 30 | 40 | 60 | 50 | 70 |
(1)画出散点图;
(2)求回归直线方程;
(3)据此估计外卖份数为12份时,收入为多少元.
注:①参考公式:线性回归方程系数公式,
;
②参考数据: ,
,
.
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【题目】阿海准备购买“海马”牌一辆小汽车,其中购车费用12.8万元,每年的保险费、汽油费约为0.95万元,年维修、保养费第一年是0.1万元,以后逐年递增0.1万元.请你帮阿海计算一下这种汽车使用多少年,它的年平均费用最少?
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