Question

14．已知函数f（x）=（x-1）²+1，（t≤x≤t+1，t为实数），求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 函数f（x）=（x-1）²+1的图象是开口朝上，且以直线x=1为对称轴的抛物线，分类讨论给定区间与对称轴的关系，进而分析函数的单调性，可得函数的最小值．

解答 解：函数f（x）=（x-1）²+1的图象是开口朝上，且以直线x=1为对称轴的抛物线，
当t+1＜1，即t＜0时，函数f（x）在[t，t+1]上为减函数，则f（x）的最小值f（t+1）=t²+1；
当t≤1≤t+1，即0≤t≤1时，函数f（x）在[t，1]上为减函数，在[1，t+1]上为增函数，则f（x）的最小值f（1）=1；
当t＞1时，函数f（x）在[t，t+1]上为增函数，则f（x）的最小值f（t）=（t-1）²+1；

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键，难度中档．