Question

9．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求椭圆方程；
（2）过M（1，1）的直线l交椭圆C于A、B两点，以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点D（A、B与D不重合），求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）通过短轴长为2可知b=1，进而利用e=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$可知a=$\sqrt{2}$，整理即得结论；
（2）通过设直线l方程为y=k（x-1）+1并与椭圆方程联立，设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），通过韦达定理可知x₁+x₂=$\frac{4k（k-1）}{2{k}^{2}+1}$、x₁x₂=$\frac{2k（k-2）}{2{k}^{2}+1}$，从而y₁y₂=$\frac{{k}^{2}+2k-1}{2{k}^{2}+1}$，利用$\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{DB}$=0计算即得结论．

解答 解：（1）依题意，2b=2，即b=1，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得：a=$\sqrt{2}$，
∴椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）依题意，设直线l方程为：y=k（x-1）+1，D（$\sqrt{2}$，0），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）+1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y、整理得：（2k²+1）x²-4k（k-1）x+2k（k-2）=0，
∴x₁+x₂=$\frac{4k（k-1）}{2{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{2k（k-2）}{2{k}^{2}+1}$，
∴y₁y₂=[k（x₁-1）+1][k（x₂-1）+1]
=k²x₁x₂-k（k-1）（x₁+x₂）+（k-1）²
=$\frac{{k}^{2}+2k-1}{2{k}^{2}+1}$，
∵以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点D（A、B与D不重合），
∴$\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{DB}$=0，
∴（x₁-$\sqrt{2}$，y₁）•（x₂-$\sqrt{2}$，y₂）=（x₁-$\sqrt{2}$）（x₂-$\sqrt{2}$）+y₁y₂
=x₁x₂-$\sqrt{2}$（x₁+x₂）+2+y₁y₂
=$\frac{2k（k-2）}{2{k}^{2}+1}$$-\sqrt{2}•$$\frac{4k（k-1）}{2{k}^{2}+1}$+2+$\frac{{k}^{2}+2k-1}{2{k}^{2}+1}$
=0，
整理得：（5-4$\sqrt{2}$）k²+（4$\sqrt{2}$-6）k+3=0，
解得：k₁=$-1-\sqrt{2}$，k₂=$\frac{-39+17\sqrt{2}}{7}$（舍），
∴直线l方程为：$（\sqrt{2}+1）$x+y-2-$\sqrt{2}$=0．

点评 本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题．