Question

4．正项等比数列{a_n}满足a₃=a₂+2a₁，且a₄=24．
（1）求a_n；
（2）若数列{a_n•b_n}的前n项和T_n=3n•2ⁿ⁺¹，求b_n．

Answer 1

分析 （1）通过a₃=a₂+2a₁可知q²-q-2=0，解得q=2，通过${a}_{1}{q}^{3}$=24可知a₁=3，进而计算可得结论；
（2）通过a_n•b_n=T_n-T_n-1=3（n+1）•2ⁿ可知b_n=2（n+1）（n≥2），进而可得结论．

解答 解：（1）∵a₃=a₂+2a₁，
∴a₁q²=a₁q+2a₁，
∴q²-q-2=0，
解得：q=2或q=-1（舍），
又∵a₄=24，即${a}_{1}{q}^{3}$=24，
∴a₁=$\frac{24}{{2}^{3}}$=3，
∴a_n=3•2^n-1；
（2）∵a_n•b_n=T_n-T_n-1
=3n•2ⁿ⁺¹-3（n-1）•2ⁿ
=3（n+1）•2ⁿ（n≥2），
∴b_n=$\frac{3（n+1）•{2}^{n}}{{a}_{n}}$
=$\frac{3（n+1）•{2}^{n}}{3•{2}^{n-1}}$
=2（n+1）（n≥2），
又∵b₁=$\frac{{T}_{1}}{{a}_{1}}$=$\frac{3•{2}^{2}}{3}$=4满足上式，
∴b_n=2（n+1）．

点评 本题考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．