Question

如图，四边形ABEF和四边形ABCD均是直角梯形，∠FAB=∠DAB=90°，AF=AB=BC=2，AD=1，FA⊥CD．

（Ⅰ）证明：在平面EBC上，一定存在过C的直线l与直线FD平行；

（Ⅱ）求二面角F﹣CD﹣A的余弦值．

Answer 1

考点：

二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．

专题：

空间角．

分析：

（Ⅰ）利用线面、面面平行的判定和性质定理即可证明；

（Ⅱ）利用相似三角形的性质、三垂线定理、线面角的定义即可得出．

解答：

（Ⅰ）证明：由已知得，BE∥AF，BC∥AD，BE∩BC=B，AD∩AF=A，

∴平面BCE∥平面ADF．

设平面DFC∩平面BCE=l，则l过C点．

∵平面BCE∥平面ADF，平面DFC∩平面BCE=l，平面DFC∩平面ADF=DF．

∴DF∥l．证毕

（Ⅱ）解：∵FA⊥AB，FA⊥CD，AB与CD相交，

∴FA⊥平面ABCD．

过点A作AM⊥CD，垂足为M，连接FM，根据三垂线定理可得FM⊥CM，∴∠FMA是二面角F﹣CD﹣A的平面角．

过D点作DN⊥BC交BC于点N，则四边形ABND是矩形，∴DN=2，CN=1，∴CD=．

∵△AMD∽△DNC，∴，∴=．

在Rt△AMF中，由勾股定理可得=，

∴cos∠AMF==．

∴二面角F﹣CD﹣A的余弦值是．

点评：

熟练掌握线面、面面平行的判定和性质定理、相似三角形的性质、三垂线定理、线面角的定义是解题的关键．