Question

如图，四边形ABEF和四边形ABCD均是直角梯形，∠FAB=∠DAB=90°，AF=AB=BC=2，AD=1，FA⊥CD．
（Ⅰ）证明：在平面EBC上，一定存在过C的直线l与直线FD平行；
（Ⅱ）求二面角F-CD-A的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用线面、面面平行的判定和性质定理即可证明；
（Ⅱ）利用相似三角形的性质、三垂线定理、线面角的定义即可得出．

解答：（Ⅰ）证明：由已知得，BE∥AF，BC∥AD，BE∩BC=B，AD∩AF=A，
∴平面BCE∥平面ADF．
设平面DFC∩平面BCE=l，则l过C点．
∵平面BCE∥平面ADF，平面DFC∩平面BCE=l，平面DFC∩平面ADF=DF．
∴DF∥l．证毕
（Ⅱ）解：∵FA⊥AB，FA⊥CD，AB与CD相交，
∴FA⊥平面ABCD．
过点A作AM⊥CD，垂足为M，连接FM，根据三垂线定理可得FM⊥CM，∴∠FMA是二面角F-CD-A的平面角．
过D点作DN⊥BC交BC于点N，则四边形ABND是矩形，∴DN=2，CN=1，∴CD=

5

．
∵△AMD∽△DNC，∴

AM

DN

=

AD

CD

，∴AM=

1×2

5

=

2 5

5

．
在Rt△AMF中，由勾股定理可得MF=

22+( 2 5 5 )2

=

2 30

5

，
∴cos∠AMF=

AM

MF

=

6

6

．
∴二面角F-CD-A的余弦值是

6

6

．

点评：熟练掌握线面、面面平行的判定和性质定理、相似三角形的性质、三垂线定理、线面角的定义是解题的关键．