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如图，两县城A和B相距20km，O为AB的中点，现要在以O为圆心、20km为半径的圆弧 $数学公式$ 上选择一点P建造垃圾处理厂，其中MA⊥AB，NB⊥AB．已知垃圾处理厂对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为对城A和城B的影响度之和．统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为9．记垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，设AP=xkm，∠POA=θ．
（I）写出x关于θ的函数关系，并求该函数的定义域和值域；
（II）当x为多少km时，总影响度最小？

解：（I）在△POA中，有余弦定理得：
x²=400+100-2×20×10cosθ=500-400cosθ
∴x=10 $\text{[math]}$
定义域为[ $\text{[math]}$ ]，值域为[10 $\text{[math]}$ ，10 $\text{[math]}$ ]
（II）在△POA中，有余弦定理得：
PB²=400+100-2×20×10cos（π-θ）=500+400cosθ
∵由（I）知400cosθ=500-x²，
∴PB²=1000-x²
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∵10 $\text{[math]}$ ，
令y^′=0
得x=10 $\text{[math]}$
当10 $\text{[math]}$ 时，y^′＜0
当10 $\text{[math]}$ ，y^′＞0
∴当x=10 $\text{[math]}$ 时，y取极小值也是最大值．
即当AP为10 $\text{[math]}$ 时，总影响度最小．
分析：（I）根据在三角形中应用余弦定理做出变量的表示式，得到一个关于三角函数的解析式，根据三角函数的性质做出函数的定义域和值域．
（II）根据余弦定理表示出要求的量，根据上一问的结果，得到变量的表示式，对函数求导，使得导函数大于0，小于0，求出函数的单调区间，得到最值，说明最值的实际意义．
点评：本题考查已知三角函数模型的应用问题，解答本题的关键是建立起符合条件的模型，作出正确的示意图，然后再由三角形中的相关知识进行运算，注意不同中导数的应用．

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两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065．
（1）将y表示成x的函数；
（2）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由．

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如图，两县城A和B相距20km，O为AB的中点，现要在以O为圆心、20km为半径的圆弧上选择一点P建造垃圾处理厂，其中。已知垃圾处理厂对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为对城A和城B的影响度之和。统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为9。记垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，设AP=xkm，

（I）写出x关于的函数关系，并求该函数的定义域和值域；

（II）当x为多少km时，总影响度最小？

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（本小题满分14分）如图，两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为 km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.

（I）将表示成的函数；

（II）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。

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