Question

数列{2ⁿ-1}的前n项组成集合A_n={1，3，7，…，2ⁿ-1}（n∈N^*），从集合A_n中任取k（k=1，2，3，…，n）个数，其所有可能的k个数的乘积的和为T_k（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记S_n=T₁+T₂+…+T_n．例如：当n=1时，A₁={1}，T₁=1，S₁=1；当n=2时，A₂={1，3}，T₁=1+3，T₂=1×3，S₂=1+3+1×3=7．
（Ⅰ）求S₃，S₄
（Ⅱ）由S₁，S₂，S₃，S₄的值归纳出S_n的表达式，并用数学归纳法加以证明．

Answer 1

考点：数学归纳法,归纳推理

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）当n=3时，求得A₃={1，3，7}，T₁、T₂ 、T₃的值，可得 S₃=T₁+T₂+T₃的值，同理S₄=2¹⁰-1；
（Ⅱ）由S₁=1=2¹-1，S₂=7=2³-1，S₃=63=2⁶-1，猜想S_n=2

n(n+1)

2

-1，用数学归纳法进行证明．

解答： 解：（Ⅰ）当n=3时，A₃={1，3，7}，
T₁=1+3+7=11，T₂=1×3+1×7+3×7=31，T₃=1×3×7=21，
所以S₃=11+31+21=63．
同理S₄=2¹⁰-1；
（Ⅱ）由S₁=1=2¹-1=1，S₂=7=2³-1，S₃=63=2⁶-1，
猜想 S_n=2

n(n+1)

2

-1，下面证明：
（1）易知n=1时成立．
（2）假设n=k时，S_n=S_k=2

k(k+1)

2

-1，
则n=k+1时，S_k+1=T₁+T₂+T₃+…+T_k+1
=[T₁′+（2^k+1-1）]+[T₂′+（2^k+1-1）T₁′]+[T₃′+（2^k+1-1）T₂′]+…+[T_k′+（2^k+1-1）]
（其中T_i′，i=1，2，…，k，为n=k时可能的k个数的乘积的和为T_k），
=（ T₁′+T₂′+T₃′+…+T_k′）+（2^k+1-1）+（2^k+1-1）（ T₁′+T₂′+T₃′+…+T_k′）
=S_k+（2^k+1-1）+（2^k+1-1）S_k =2^k+1（2

k(k+1)

2

）+（2^k+1-1）
=2^k+1•2

k(k+1)

2

=2

(k+1)(k+2)

2

-1，
即n=k时，S_k+1=2

(k+1)(k+2)

2

-1也成立，
综合（1）（2）知对n∈N^*，S_n=2

n(n+1)

2

-1成立．
所以，S_n=2

n(n+1)

2

-1．

点评：本题主要考查用数学归纳法证明等式，证明当n=k+1时命题成立，是解题的关键，属于中档题．