Question

在△ABC中，角A，B，C所对分别为a，b，c，且1+

tanA

tanB

=

2c

b

．
（I）求角A：
（II）若向量

m

=（0，-1），

n

=（cosB，2cos²

C

2

），
试求|m+n|的最小值．

Answer 1

考点：正弦定理的应用,平面向量数量积的运算

专题：计算题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质,解三角形,平面向量及应用

分析：（Ⅰ）运用正弦定理，将边化为角，由同角的商数关系和两角和的正弦公式，化简计算即可得到A；
（Ⅱ）由向量的加法运算和向量的模的公式，结合两角差的余弦公式和正弦公式，再由正弦函数的图象和性质，即可求得最小值．

解答： 解：（I）由正弦定理，1+

tanA

tanB

=

2c

b

即为
1+

sinA cosA

sinB cosB

=

2sinC

sinB

，即

sinAcosB+cosAsinB

sinBcosA

=

2sin(A+B)

sinB

则cosA=

1

2

，0＜A＜π，
则A=

π

3

；
（II）向量

m

=（0，-1），

n

=（cosB，2cos²

C

2

），
|

m

+

n

|=|（cosB，2cos²

C

2

-1）|=|（cosB，cosC）|
=

cos2B+cos2C

=

cos2B+cos2( 2π 3 -B)

=

1+ 1 4 cos2B- 3 4 sin2B

=

1- 1 2 sin(2B- π 6 )

，
因为A=

π

3

，所以B∈（0，

2π

3

），2B-

π

6

∈（-

π

6

，

7π

6

），
sin（2B-

π

6

）∈（-

1

2

，1]，
当sin（2B-

π

6

）=1即B=

π

3

时，
|

m

+

n

|取得最小值，且为

2

2

．

点评：本题考查正弦定理和三角函数的化简和求值，考查向量和的模的大小的求法，解题时要认真审题，注意三角函数公式的合理运用．