Question

已知函数f（x）=|x-a|+2|x-1|，g（a）=|a-2|+3a+2．
（1）当a取使不等式|x-8|+|x-6|≥a恒成立的最大值时，求不等式f（x）≥2的解集；
（2）若不等式f（3）≤g（a）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）运用绝对值不等式的性质求得最大值为2，再由零点分区间讨论，去绝对值解不等式，最后求并集即可；
（2）运用绝对值不等式的性质求得最大值为1，再由一次不等式的解法，即可得到范围．

解答： 解：（1）由于|x-8|+|x-6|≥|x-8-（x-6）|=2，
则a≤2，即最大值为2，
不等式f（x）≥2即为|x-2|+2|x-1|≥2，
当x≤1时，2-x+2（1-x）≥2解得x≤

2

3

，则有x≤

2

3

；
当1＜x＜2时，2-x+2x-2≥2解得x≥2，则x∈∅；
当x≥2时，x-2+2x-2≥2，解得x≥2，则有x≥2．
综上可得，解集为{x|xx≤

2

3

或x≥2}；
（2）不等式f（3）≤g（a）恒成立即为
|a-3|-|a-2|≤3a-2恒成立，
由于||a-3|-|a-2||≤|a-3-（a-2）|=1，
则有3a-2≥1，解得a≥1．
即有实数a的取值范围是[1，+∞）．

点评：本题考查绝对值不等式的性质，考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立问题，考查运算能力，属于中档题和易错题．