Question

20．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PB，且侧面PAB⊥平面ABCD，点E是棱AB的中点．
（1）求证：PE⊥AD；
（2）若∠ADC=$\frac{π}{3}$，求证：平面PEC⊥平面PAB．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性质和面面垂直的性质定理，可得PE⊥平面ABCD，再由线面垂直的性质，即可得证；
（2）由线面垂直的判定定理可得AB⊥平面PEC，再由面面垂直的判定定理即可得证．

解答 证明：（1）因为PA=PB，点E是棱AB的中点，
所以PE⊥AB，
因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PE?平面PAB，
所以PE⊥平面ABCD，
因为AD?平面ABCD，
所以PE⊥AD；
（2）依题意，有CA=CB，点E是棱AB的中点，
所以CE⊥AB，
由（1）可得PE⊥AB，
所以AB⊥平面PEC，
又因为AB?平面PAB，
所以平面PAB⊥平面PEC．

点评 本题考查空间线面垂直和面面垂直的判定和性质的运用，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．