Question

15．设f（x）在x₀处可导，试求极限$\underset{lim}{n→∞}$n[f（x₀+$\frac{3}{n}$）-f（x₀）]．

Answer 1

分析 设f（x）在x₀处的导数为f′（x₀），从而化简$\underset{lim}{n→∞}$n[f（x₀+$\frac{3}{n}$）-f（x₀）]=3$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{f（{x}_{0}+\frac{3}{n}）-f（{x}_{0}）}{\frac{3}{n}-0}$=3f′（x₀）．

解答 解：由题意，设f（x）在x₀处的导数为f′（x₀），
则$\underset{lim}{n→∞}$n[f（x₀+$\frac{3}{n}$）-f（x₀）]
=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{f（{x}_{0}+\frac{3}{n}）-f（{x}_{0}）}{\frac{1}{n}-0}$
=3$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{f（{x}_{0}+\frac{3}{n}）-f（{x}_{0}）}{\frac{3}{n}-0}$=3f′（x₀）．

点评 本题考查了导数的综合应用．