【题目】已知为坐标原点,椭圆
:
的左焦点是
,离心率为
,且
上任意一点
到
的最短距离为
.
(1)求的方程;
(2)过点的直线
(不过原点)与
交于两点
、
,
为线段
的中点.
(i)证明:直线与
的斜率乘积为定值;
(ii)求面积的最大值及此时
的斜率.
【答案】(1);(2)(i)见解析;(ii)
面积的最大值是
,此时
的斜率为
.
【解析】试题分析:(1)由题设可以得到关于的方程组为
,从而
,故
,所以椭圆
的方程为
.(2)设直线
为:
,
,
,
,联立直线的方程和椭圆的方程并消元后可以得到
,利用韦达定理得到
,故
,从而
为定值.利用弦长公式和点到直线的距离可得
,令
,从而
,最后利用基本不等式可以得到面积的最大值为
且此时
也就是
.
解析:(1)由题意得,解得
,∴
,
,∴椭圆
的方程为
.
(2)(i)设直线为:
,
,
,
,由题意得
,
∴,∴
,即
,由韦达定理得:
,
,∴
,
,∴
,∴
,∴直线
与
的斜率乘积为定值.
(ii)由(i)可知:
,又点
到直线
的距离
,
∴的面积
,令
,则
,∴
,当且仅当
时等号成立,此时
,且满足
,∴
面积的最大值是
,此时
的斜率为
.
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【题目】如图,三棱柱中,侧面
是边长为2的菱形,且
,
,四棱锥
的体积为2,点
在平面
内的正投影为
,且
在
上,点
在线段
上,且
.
(Ⅰ)证明:直线平面
;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
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【题目】某厂家举行大型的促销活动,经测算某产品当促销费用为万元时,销售量
万件满足
(其中
,
为正常数),现假定生产量与销售量相等,已知生产该产品
万件还需投入成本
万元(不含促销费用),产品的销售价格定为
万元/万件.
(1)将该产品的利润万元表示为促销费用
万元的函数;
(2)促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大.
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【题目】如图,等边三角形的边长为
,且其
三个顶点均在抛物线上.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)设动直线与抛物线
相切于点
,与直线
相交于点.证明以
为直径的圆恒过
轴上某定点.
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【题目】一装有水的直三棱柱ABC-A1B1C1容器(厚度忽略不计),上下底面均为边长为5的正三角形,侧棱为10,侧面AA1B1B水平放置,如图所示,点D、E、F、G分别在棱CA、CB、C1B1、C1A1上,水面恰好过点D,E,F,C,且CD=2
(1)证明:DE∥AB;
(Ⅱ)若底面ABC水平放置时,求水面的高
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【题目】如图,某大型景区有两条直线型观光路线,
,
,点
位于
的平分线上,且与顶点
相距1公里.现准备过点
安装一直线型隔离网
(
分别在
和
上),围出三角形区域
,且
和
都不超过5公里.设
,
(单位:公里).
(Ⅰ)求的关系式;
(Ⅱ)景区需要对两个三角形区域,
进行绿化.经测算,
区城每平方公里的绿化费用是
区域的两倍,试确定
的值,使得所需的总费用最少.
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【题目】设椭圆:
的左、右焦点分别为
,上顶点为A,过点A与
垂直的直线交
轴负半轴于点
,且
,若过
,
,
三点的圆恰好与直线
相切.过定点
的直线
与椭圆
交于
,
两点(点
在点
,
之间).
(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)若实数
满足
,求
的取值范围.
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【题目】选修4—4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中,曲线C的参数方程为 (
是参数,0≤
≤π),以O 为极点,以x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.
(Ⅰ)求曲线C 的极坐标方程;
(Ⅱ)直线l1,的极坐标方程是2psin(θ+)+
=0,直线l2:θ =
与曲线C的交点为P,与直线l1的交点为Q,求线段PQ的长.
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【题目】某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件。已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为多少元?
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