Question

【题目】如图,某大型景区有两条直线型观光路线， , ,点位于的平分线上，且与顶点相距1公里.现准备过点安装一直线型隔离网 (分别在和上)，围出三角形区域，且和都不超过5公里.设， (单位：公里).

（Ⅰ）求的关系式；

（Ⅱ）景区需要对两个三角形区域， 进行绿化.经测算， 区城每平方公里的绿化费用是区域的两倍，试确定的值,使得所需的总费用最少.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当， (单位：公里)时,所需的总费用最少..

【解析】试题分析：(Ⅰ) 由题意得，利用面积公式及条件可得 (其中)；

（Ⅱ）设区域每平方公里的绿化费用为 (为常数)，两区域总费用为，则有，记，由(Ⅰ)可知，即， 用均值不等式求最值即可.

试题解析：

(Ⅰ)解法一：由题意得，

故，

即，

所以 (其中).

解法二：在中，由余弦定理得： ，

则，同理可得，

在中，由正弦定理得： ，

在中，由正弦定理得： ，

因为，两式相除可得，

化简得 (其中， ).

(Ⅱ)设区域每平方公里的绿化费用为 (为常数)，两区域总费用为，

则有，

记，由(Ⅰ)可知，即，

则，

当且仅当，即解得此时等号成立.

答：当， (单位：公里)时,所需的总费用最少.