Question

12．当x∈[2，3]时，x²+ax+a+1＜0恒成立，则a的范围是（-∞，-$\frac{5}{2}$）．

Answer 1

分析 法一：利用函数的零点，通过f（2），f（3）均小于0，求解即可．
法二：当x∈[2，3]时，x²+ax+a+1＜0恒成立，则a＜$\frac{{-x}^{2}-1}{x+1}$在x∈[2，3]时恒成立，构造函数，利用导数法，求出函数的最大值，可得答案．

解答 解：法一：当x∈[2，3]时，x²+ax+a+1＜0恒成立，由二次函数y=x²+ax+a+1的性质，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{f（2）＜0}\\{f（3）＜0}\end{array}\right.$，即：$\left\{\begin{array}{l}{4+2a+a+1＜0}\\{9+3a+a+1＜0}\end{array}\right.$，解得a＜$-\frac{5}{2}$．
故实数a的取值范围是：（-∞，$-\frac{5}{2}$）；
故答案为：（-∞，$\frac{5}{2}$）；
法二：当x∈[2，3]时，x²+ax+a+1＜0恒成立，
则则a＜$\frac{{-x}^{2}-1}{x+1}$在x∈[2，3]时恒成立，
令y=-$\frac{{x}^{2}+1}{x+1}$
则y′=-$\frac{2x（x+1）-{x}^{2}-1}{（{x+1）}^{2}}$=$\frac{-{x}^{2}-2x+1}{（x+1）^{2}}$＜0在x∈[2，3]时恒成立，
故y=-$\frac{{x}^{2}+1}{x+1}$
在x∈[2，3]时为减函数，
当x=3时，函数取最小值$-\frac{5}{2}$，
故a＜$-\frac{5}{2}$，
故实数a的取值范围是：（-∞，$-\frac{5}{2}$）；
故答案为：（-∞，-$\frac{5}{2}$）；

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了恒成立问题，函数的值域与最值，难度中档．