已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1．给出下列五个命题:①对角线AC1被平面A1BD和平面B1CD1三等分,②正方体的内切球.与各条棱相切的球.外接球的表面积之比为1:2:3,③以正方体的顶点为顶点的四面体的体积都是16,④正方体与以A为球心.1为半径的球的公共部分的体积是π6,⑤在正方形ABCD内.到顶点A与棱A1B1的距离相等的点的轨迹为一段� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1．给出下列五个命题：
①对角线AC₁被平面A₁BD和平面B₁CD₁三等分；
②正方体的内切球、与各条棱相切的球、外接球的表面积之比为1：2：3；
③以正方体的顶点为顶点的四面体的体积都是

；
④正方体与以A为球心，1为半径的球的公共部分的体积是

；
⑤在正方形ABCD内，到顶点A与棱A₁B₁的距离相等的点的轨迹为一段抛物线．
其中正确命题的序号为①②④将你认为正确命题的序号都填上）．

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：①如图所示，假设对角线AC₁与平面A₁BD相交于点M，可得AM⊥平面A₁BD．可得

AM•

×(

)2=

×12×1，解得AM=

AC1，即可判断出；
②设正方体的内切球、与各条棱相切的球、外接球的半径分别为

，

．即可得出表面积之比；
③而以A₁，B，D，C₁为顶点的三棱锥的体积V=1³-4×

，不是

，即可判断出；
④正方体与以A为球心，1为半径的球的公共部分的体积V=

4π

×13=

；
⑤以DA、DC、DD₁分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，在正方形ABCD内，到顶点A与棱A₁B₁的距离相等的点P（x，y，0）的轨迹为：：

(1-x)2+y2

1+(1-x)2

，化为y=1（0≤x≤1），为线段BC，即可判断出．

解答： 解：①如图所示，

假设对角线AC₁与平面A₁BD相交于点M，可得AM⊥平面A₁BD．∴

AM•

×(

)2=

×12×1，解得AM=

AC1，
因此对角线AC₁被平面A₁BD和平面B₁CD₁三等分，正确；
②设正方体的内切球、与各条棱相切的球、外接球的半径分别为

，

．因此表面积之比=4π(

)2：4π(

)2=1：2：3，正确；
③而以A₁，B，D，C₁为顶点的三棱锥的体积V=1³-4×

，不是

，不正确；
④正方体与以A为球心，1为半径的球的公共部分的体积V=

4π

×13=

，正确；
⑤以DA、DC、DD₁分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，在正方形ABCD内，到顶点A与棱A₁B₁的距离相等的点P（x，y，0）的轨迹为：

(1-x)2+y2

1+(1-x)2

，化为y=1（0≤x≤1），为线段BC，不正确．
故答案为：①②④．

点评：本题考查立体几何线线、线面、面面位置关系及体积计算等知识，考查了空间想象能力，考查了计算能力，属于较难题．

练习册系列答案

68所名校图书小升初高分夺冠真卷系列答案

伴你成长周周练月月测系列答案

小升初金卷导练系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：高中数学 来源： 题型：

下图展示了一个由区间（0，1）到实数集R的映射过程：区间（0，1）中的实数m对应数轴上的点M（点A对应实数0，点B对应实数1），如图①；将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合，如图②；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为（0，1），在图形变化过程中，图①中线段AM的长度对应于图③中的弧ADM的长度，如图③，图③中直线AM与x轴交于点N（n，0），则m的象就是n，记作f（m）=n．
给出下列命题：①f（

）=1；
②f（

）=0；
③f（x）是奇函数；
④f（x）在定义域上单调递增，
则所有真命题的序号是（　　）