Question

为了解学生身高情况，某校以10%的比例对高三年级的700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如图：
（1）估计该校学生身高在170～185cm之间的概率；
（2）从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人，其中身高在185～190cm之间的人数记为X，求X的分布列和期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,频率分布直方图,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（1）由统计图知，先求出样本中身高在170～185 cm之间的学生的人数，再由样本容量，求出样本中学生身高在170～185 cm之间的频率，由此能估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率．
（2）由题意可知X=0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和期望．

解答： 解：（1）由统计图知，
样本中身高在170～185 cm之间的学生有14+13+4+3+1=35（人），…（2分）
样本容量为70，…（3分）
所以样本中学生身高在170～185 cm之间的频率f=

35

70

=0.5．…（4分）
故由f估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率P₁=0.5．…（5分）
（2）由题意可知X=0，1，2，…（7分）
P（X=0）=

C 2 4

C 2 6

=

6

15

=

2

5

，…（8分）
P（X=1）=

C 1 4 • C 1 2

C 2 6

=

8

15

，…（9分）
P（X=2）=

C 2 2

C 2 6

=

1

15

，…（10分）
∴X的分布列为：

X	0	1	2
P	2 5	8 15	1 15

…（11分）
X的期望为EX=0×

2

5

+1×

8

15

+2×

1

15

=

2

3

．…（12分）

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意可能事件概率计算公式和排列组合知识、频率分布直方图的合理运用．