已知椭圆的中心为直角坐标系的原点,焦点在轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1
(1)求椭圆的方程
(2)若为椭圆的动点,为过且垂直于轴的直线上的点,(e为椭圆C的离心率),求点的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线?
(1)(2)轨迹方程为轨迹是两条平行于x轴的线段.
解析试题分析:(1)设椭圆长半轴长及分别为a,c,由已知得
{ 解得a=4,c=3,
所以椭圆C的方程为
(2)设M(x,y),P(x,),其中由已知得
而,故 ①
由点P在椭圆C上得
代入①式并化简得
所以点M的轨迹方程为轨迹是两条平行于x轴的线段.
考点:椭圆的标准方程;椭圆的简单性质;轨迹方程的求法。
点评:求轨迹方程的基本步骤:①建立适当的平面直角坐标系,设P(x,y)是轨迹上的任意一点;②寻找动点P(x,y)所满足的条件;③用坐标(x,y)表示条件,列出方程f(x,y)=0;④化简方程f(x,y)=0为最简形式;⑤证明所得方程即为所求的轨迹方程,注意验证。
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(本小题满分13分)已知函数(其中且为常数)的图像经过点A、B.是函数图像上的点,是正半轴上的点.
(1) 求的解析式;
(2) 设为坐标原点,是一系列正三角形,记它们的边长是,求数列的通项公式;
(3) 在(2)的条件下,数列满足,记的前项和为,证明:。
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(本小题满分12分)
已知椭圆C中心在原点,焦点在轴上,一条经过点且倾斜角余弦值为的直线交椭圆于A,B两点,交轴于M点,又.
(1)求直线的方程;
(2)求椭圆C长轴的取值范围。
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(本小题满分12分)
已知椭圆C :经过点离心率为。
(Ⅰ) 求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线l与椭圆C相交于A、B两点,以线段OA、OB为邻边作平行四边形OAPB,其中顶点P在椭圆C上,O为坐标原点。求O到直线l的距离的最小值。
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(本小题满分13分)已知中心在坐标原点O,焦点在轴上,长轴长是短轴长的2倍的椭圆经过点M(2,1)
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)直线平行于,且与椭圆交于A、B两个不同点.
(ⅰ)若为钝角,求直线在轴上的截距m的取值范围;
(ⅱ)求证直线MA、MB与x轴围成的三角形总是等腰三角形.
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(本小题满分13分)
已知椭圆的离心率为,椭圆短轴长为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)已知动直线与椭圆相交于、两点. ①若线段中点的横坐标为,求斜率的值;②若点,求证:为定值。
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(本题12分)直线l:y=kx+1与双曲线C:的右支交于不同的两点A,B
(Ⅰ)求实数k的取值范围;
(Ⅱ)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.
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(本小题满分12分)
如果两个椭圆的离心率相等,那么就称这两个椭圆相似.已知椭圆与椭圆相似,且椭圆的一个短轴端点是抛物线的焦点.
(Ⅰ)试求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设椭圆的中心在原点,对称轴在坐标轴上,直线与椭圆交于两点,且与椭圆交于两点.若线段与线段的中点重合,试判断椭圆与椭圆是否为相似椭圆?并证明你的判断.
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