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(本小题满分12分)
已知椭圆C :经过点离心率为
(Ⅰ) 求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线l与椭圆C相交于A、B两点,以线段OA、OB为邻边作平行四边形OAPB,其中顶点P在椭圆C上,O为坐标原点。求O到直线l的距离的最小值。

(1);(2)点O到直线l的距离的最小值为

解析试题分析:(1)由已知, 所以.
又点在椭圆C上,可以得 
所以椭圆方程为                         (4分)
(2)当直线l有斜率时,设方程为
则由消去y,得
设点A、B、P的坐标分别为
    (7分)
P 在椭圆上,可得,化简得
需满足
又点O到直线l的距离为d=
当且仅当k=0时等号成立。
当直线l斜率不存在时,由对称性知,点P一定在x轴上,
从而P(-2,0)(2,0),直线l为x=1或x=-1,所以点O
到直线l的距离为1.
所以点O到直线l的距离的最小值为。                 (12分)
(直接写出P为短轴端点,并求出距离,但未证明的给4分)
考点:本题主要考查椭圆标准方程,直线与椭圆的位置关系。
点评:中档题,曲线关系问题,往往通过联立方程组,得到一元二次方程,运用韦达定理。本题求椭圆标准方程时,主要运用了椭圆的定义及几何性质。(2)作为研究点到直线的距离最值问题,利用了函数思想。

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