在平面直角坐标系中,的两个顶点、的坐标分别是(-1,0),(1,0),点是的重心,轴上一点满足,且.
(1)求的顶点的轨迹的方程;
(2)不过点的直线与轨迹交于不同的两点、,当时,求与的关系,并证明直线过定点.
(1) (2) ,直线过定点
解析试题分析:(1)设点坐标为,
因为为的重心,故点坐标为.
由点在轴上且知,点的坐标为, ……2分
因为,所以,即.
故的顶点的轨迹的方程是. ……4分
(2)设直线与的两交点为.
由消去得,
则,
且,. ……8分
因为,所以,
故,
整理得.解得. ……10分
①当时=,直线过点(-1,0)不合题意舍去。
②当时,=,直线过点.
综上所述,直线过定点. ……12分
考点:本小题主要考查椭圆标准方程的求解,直线与椭圆的位置关系.
点评:求曲线方程时,不要忘记验证是否有限制条件;解决直线与圆锥曲线的位置关系时,一般离不开直线方程与圆锥曲线方程联立方程组,此时不要忘记验证判别式大于零.
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(本题满分13分)已知椭圆:()过点,其左、右焦点分别为,且.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若是直线上的两个动点,且,则以为直径的圆是否过定点?请说明理由.
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(本小题满分10分)在直角坐标平面内,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程是,直线的参数方程是(为参数)。
求极点在直线上的射影点的极坐标;
若、分别为曲线、直线上的动点,求的最小值。
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在直角坐标系中,点,点为抛物线的焦点,
线段恰被抛物线平分.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)过点作直线交抛物线于两点,设直线、、的斜率分别为、、,问能否成公差不为零的等差数列?若能,求直线的方程;若不能,请说明理由.
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已知椭圆()过点(0,2),离心率.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设过定点(2,0)的直线与椭圆相交于两点,且为锐角(其中为坐标原点),求直线斜率的取值范围.
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(本小题满分13分)已知函数(其中且为常数)的图像经过点A、B.是函数图像上的点,是正半轴上的点.
(1) 求的解析式;
(2) 设为坐标原点,是一系列正三角形,记它们的边长是,求数列的通项公式;
(3) 在(2)的条件下,数列满足,记的前项和为,证明:。
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(本题15分)已知点是椭圆E:()上一点,F1、F2分别是椭圆E的左、右焦点,O是坐标原点,PF1⊥x轴.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)设A、B是椭圆E上两个动点,().求证:直线AB的斜率为定值;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,当△PAB面积取得最大值时,求λ的值.
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(本小题满分12分)
已知椭圆C :经过点离心率为。
(Ⅰ) 求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线l与椭圆C相交于A、B两点,以线段OA、OB为邻边作平行四边形OAPB,其中顶点P在椭圆C上,O为坐标原点。求O到直线l的距离的最小值。
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