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(本题15分)已知点是椭圆E)上一点,F1F2分别是椭圆E的左、右焦点,O是坐标原点,PF1x轴.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)设A、B是椭圆E上两个动点,).求证:直线AB的斜率为定值;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,当△PAB面积取得最大值时,求λ的值.

(1)  (2)根据已知的向量的坐标关系,结合点差法来得到直线的斜率。
(3)

解析试题分析:解:(Ⅰ)∵PF1x轴,
F1(-1,0),c=1,F2(1,0),
|PF2|=,2a=|PF1|+|PF2|=4,a=2,b2=3,
椭圆E的方程为:;…………………4分
(Ⅱ)设Ax1y1)、Bx2y2),由
x1+1,y1-)+(x2+1,y2-)=(1,- ),
所以x1+x2=-2y1+y2=(2-………①

两式相减得3(x1+x2)(x1-x2)+ 4(y1+y2)(y1-y2)=0………..②
以①式代入可得AB的斜率k=为定值; ……………9分
(Ⅲ)设直线AB的方程为y=x+t
联立消去y并整理得 x2+tx+t2-3=0,   △=3(4-t2),
AB|=
P到直线AB的距离为d=,
PAB的面积为S=|ABd=, ………10分
ft)=S2=t4-4t3+16t-16) (-2<t<2),
f’(t)=-3(t3-3t2+4)=-3(t+1)(t-2)2,由f’(t)=0及-2<t<2得t=-1.
t∈(-2,-1)时,f’(t)>0,当t∈(-1,2)时,f’(t)<0,ft)=-1时取得最大值
所以S的最大值为.此时x1+x2=-t=1=-2,=3. ………………15分
考点:椭圆的方程,向量
点评:解析几何中的圆锥曲线的求解,一般运用待定系数法来求解,同时运用设而不求的思想来研究直线与椭圆的位置关系,属于中档题。

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知椭圆 经过点其离心率为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆相交于AB两点,以线段为邻边作平行四边形OAPB,其中顶点P在椭圆上,为坐标原点.求的取值范围.

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(1)求的顶点的轨迹的方程;
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(本小题满分12分)
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(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)设.
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(本题满分15分)
在平面内,已知椭圆的两个焦点为,椭圆的离心率为 ,点是椭圆上任意一点, 且
(1)求椭圆的标准方程;
(2)以椭圆的上顶点为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形,这样的等腰直角三角形是否存在?若存在请说明有几个、并求出直角边所在直线方程?若不存在,请说明理由.

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(本小题满分16分)
已知椭圆的离心率为,一条准线

(1)求椭圆的方程;
(2)设O为坐标原点,上的点,为椭圆的右焦点,过点FOM的垂线与以OM为直径的圆交于两点.
①若,求圆的方程;
②若l上的动点,求证:点在定圆上,并求该定圆的方程.

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已知椭圆:的一个顶点为,离心率为.直线与椭圆交于不同的两点M,N.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)当△AMN得面积为时,求的值.

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