(本题15分)已知点是椭圆E:()上一点,F1、F2分别是椭圆E的左、右焦点,O是坐标原点,PF1⊥x轴.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)设A、B是椭圆E上两个动点,().求证:直线AB的斜率为定值;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,当△PAB面积取得最大值时,求λ的值.
(1) (2)根据已知的向量的坐标关系,结合点差法来得到直线的斜率。
(3)
解析试题分析:解:(Ⅰ)∵PF1⊥x轴,
∴F1(-1,0),c=1,F2(1,0),
|PF2|=,2a=|PF1|+|PF2|=4,a=2,b2=3,
椭圆E的方程为:;…………………4分
(Ⅱ)设A(x1,y1)、B(x2,y2),由 得
(x1+1,y1-)+(x2+1,y2-)=(1,- ),
所以x1+x2=-2,y1+y2=(2-)………①
又,,
两式相减得3(x1+x2)(x1-x2)+ 4(y1+y2)(y1-y2)=0………..②
以①式代入可得AB的斜率k=为定值; ……………9分
(Ⅲ)设直线AB的方程为y=x+t,
与联立消去y并整理得 x2+tx+t2-3=0, △=3(4-t2),
AB|=,
点P到直线AB的距离为d=,
△PAB的面积为S=|AB|×d=, ………10分
设f(t)=S2=(t4-4t3+16t-16) (-2<t<2),
f’(t)=-3(t3-3t2+4)=-3(t+1)(t-2)2,由f’(t)=0及-2<t<2得t=-1.
当t∈(-2,-1)时,f’(t)>0,当t∈(-1,2)时,f’(t)<0,f(t)=-1时取得最大值,
所以S的最大值为.此时x1+x2=-t=1=-2,=3. ………………15分
考点:椭圆的方程,向量
点评:解析几何中的圆锥曲线的求解,一般运用待定系数法来求解,同时运用设而不求的思想来研究直线与椭圆的位置关系,属于中档题。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆 经过点其离心率为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆相交于A、B两点,以线段为邻边作平行四边形OAPB,其中顶点P在椭圆上,为坐标原点.求的取值范围.
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在平面直角坐标系中,的两个顶点、的坐标分别是(-1,0),(1,0),点是的重心,轴上一点满足,且.
(1)求的顶点的轨迹的方程;
(2)不过点的直线与轨迹交于不同的两点、,当时,求与的关系,并证明直线过定点.
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已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为,求△AOB面积的最大值.
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(本小题满分12分)
如图,为椭圆上的一个动点,弦、分别过焦点、,当垂直于轴时,恰好有
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)设.
①当点恰为椭圆短轴的一个端点时,求的值;
②当点为该椭圆上的一个动点时,试判断是否为定值?
若是,请证明;若不是,请说明理由.
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(本题满分15分)
在平面内,已知椭圆的两个焦点为,椭圆的离心率为 ,点是椭圆上任意一点, 且,
(1)求椭圆的标准方程;
(2)以椭圆的上顶点为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形,这样的等腰直角三角形是否存在?若存在请说明有几个、并求出直角边所在直线方程?若不存在,请说明理由.
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如图,,是抛物线(为正常数)上的两个动点,直线AB与x轴交于点P,与y轴交于点Q,且
(Ⅰ)求证:直线AB过抛物线C的焦点;
(Ⅱ)是否存在直线AB,使得若存在,求出直线AB的方程;若不存在,请说明理由。
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(本小题满分16分)
已知椭圆的离心率为,一条准线.
(1)求椭圆的方程;
(2)设O为坐标原点,是上的点,为椭圆的右焦点,过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于两点.
①若,求圆的方程;
②若是l上的动点,求证:点在定圆上,并求该定圆的方程.
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