（本小题满分12分）
如图，
为椭圆
上的一个动点，弦
、
分别过焦点
、
，当垂直于
轴时，恰好有
(Ⅰ)求椭圆的离心率；
(Ⅱ)设
.
①当点恰为椭圆短轴的一个端点时，求
的值；
②当点为该椭圆上的一个动点时，试判断是否为定值？
若是，请证明；若不是，请说明理由.
(1)
(2)(3)
解析试题分析：（Ⅰ）法一：设
，则
.由题设及椭圆定义得
，消去
得
，所以离心率. ………………2分
法二：由椭圆方程得，
又
，
，即
，可求.
(Ⅱ)法一：由(Ⅰ)知，
，所以椭圆方程可化为
.
①当A点恰为椭圆短轴的一个端点时，
，直线
的方程为
.
由
得
，解得
，
∴点
的坐标为
.
又
，所以
，
，所以
，
. ………5分
②当A点为该椭圆上的一个动点时，
为定值6.
证明：设
，
，则
.
若
为椭圆的长轴端点，则
或
，
所以
. ………………7分
若为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则由
得，
，所以
.
又直线的方程为
，所以由
得
.
，∴
.
由韦达定理得 
，所以
. 同理
.
∴
.
综上证得，当A点为该椭圆上的一个动点时，为定值6. ………………12分
法二：设，，则
∵
，∴
； ………………6分
又
①，
②，将
、
代入②得：
即
③；
③
①得：
； ……………10分
同理：由
得
，∴
，
∴. &nb
亮点激活精编提优100分大试卷系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
（满分12分）已知椭圆
的一个顶点为B
，离心率
，
直线l交椭圆于M、N两点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（II）如果ΔBMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线
的方程．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
（本小题满分13分）已知函数
（其中
且
为常数）的图像经过点A
、B
．
是函数
图像上的点，
是
正半轴上的点．
(1) 求的解析式；
(2) 设
为坐标原点，
是一系列正三角形，记它们的边长是
，求数列
的通项公式；
(3) 在(2)的条件下，数列
满足
，记的前
项和为
，证明：
。
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知点
，点
，直线
、
都是圆
的切线（
点不在
轴上）。
⑴求过点且焦点在
轴上抛物线的标准方程；
⑵过点
作直线
与⑴中的抛物线相交于
、
两点，问是否存在定点
，使
.
为常数？若存在，求出点的坐标与常数；若不存在，请说明理由。
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
（本题15分）已知点
是椭圆E：
（
）上一点，F1、F2分别是椭圆E的左、右焦点，O是坐标原点，PF1⊥x轴．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设A、B是椭圆E上两个动点，
（
）．求证：直线AB的斜率为定值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当△PAB面积取得最大值时，求λ的值．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
（本小题满分12分）
如图椭圆
：
的两个焦点为
、
和顶点
、
构成面积为32的正方形.
（1）求此时椭圆的方程；
（2）设斜率为
的直线
与椭圆相交于不同的两点
、
、
为
的中点，且
. 问：、两点能否关于直线
对称. 若能，求出
的取值范围；若不能，请说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
（本小题满分12分）
已知椭圆C中心在原点，焦点在
轴上，一条经过点
且倾斜角余弦值为
的直线
交椭圆于A，B两点，交轴于M点，又
.
（1）求直线的方程；
（2）求椭圆C长轴的取值范围。
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
(本小题满分13分)
已知椭圆
的离心率为
，椭圆短轴长为
.
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）已知动直线
与椭圆相交于
、
两点. ①若线段
中点的横坐标为
，求斜率
的值；②若点
，求证：
为定值。
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的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o,
.
，求椭圆C的方程.