Question

设S_n是数列{a_n}的前n项和，且S_n=2a_n-2（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}使a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（2n-1）2ⁿ⁺¹+2（n∈N^*），求{b_n}的通项公式；
（3）设c_n=

1

(1+bn)2

(n∈N*)，且数列{c_n}的前n项和为T_n，试比较T_n与

1

4

的大小．

Answer 1

分析：（1）利用a_n+1=S_n+1-S_n，得到a_n+1=2a_n．又a₁=S₁=2 a₁-2，利用等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用递推关系及an=2n，即可得出；
（3）利用“裂项求和”即可得出．

解答：解：（1）∵Sn=2an-2(n∈N*)，∴S_n+1=2a_n+1-2，
于是a_n+1=S_n+1-S_n=（2 a_n+1-2）-（2 a_n-2），即a_n+1=2a_n．
又a₁=S₁=2 a₁-2，得a₁=2．
∴{a_n}是首项和公比都是2的等比数列，故a_n=2ⁿ．
（2）由a₁b₁=（2×1-1）×2¹⁺¹+2=6及a₁=2得b₁=3．
当n≥2时，（2n-1）2ⁿ⁺¹+2=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=[2(n-1)-1]2(n-1)+1+2+anbn=(2n-3)2n+2+anbn，
∴anbn=(2n-1)2n+1-(2n-3)2n=(2n+1)2n．
∵a_n=2ⁿ，
∴b_n=2n+1（n≥2）．
∴bn=

3，         (n=1) 2n+1，   (n≥2)

=2n+1(n∈N*)．
（3）∵cn=

1

(1+bn)2

=

1

(2n+2)2

=

1

4(n+1)2

＜

1

4n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)．
∴Tn=c1+c2+…+cn＜

1

4

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=

1

4

(1-

1

n+1

)＜

1

4

．

点评：熟练掌握等比数列的通项公式、递推关系式、S_n与a_n的关系、“裂项求和”等是解题的关键．