Question

9．已知函数f（x）=ax²+bx+c满足f（1）=0，且a＞b＞c．
（1）求$\frac{c}{a}$的取值范围；
（2）设该函数图象交x轴于A、B两点，求AB的范围．

Answer 1

分析 （1）根据f（1）=0，可得a，b，c的关系，再根据a＞b＞c，将其中的b代换成a表示，即可求得$\frac{c}{a}$的取值范围；
（2）设出A、B两点的坐标，则得到f（x）=0的两个根，根据韦达定理，将|AB|转化成用两个根表示，然后转化成用$\frac{c}{a}$表示，运用（1）的结论，即可求得|AB|的取值范围．

解答 解：（1）f（x）=ax²+bx+c，且f（1）=0，
∴f（1）=a+b+c=0，
∴b=-（a+c），
∵a＞b＞c，
∴a＞-（a+c）＞c且a＞0，c＜0，
解得-2＜$\frac{c}{a}$＜-$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{c}{a}$的取值范围为-2＜$\frac{c}{a}$＜-$\frac{1}{2}$；
（2）∵函数f（x）的图象交x轴于A、B两点，
∴设A（x₁，0），B（x₂，0），
∴x₁，x₂为f（x）=0，即ax²+bx+c=0的两个根，
根据韦达定理，则有x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$，
则|AB|=|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{（-\frac{b}{a}）^{2}-\frac{4c}{a}}$
=$\sqrt{\frac{{b}^{2}-4ac}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{（-a-c）^{2}-4ac}{{a}^{2}}}$=|1-$\frac{c}{a}$|，
∵a＞0，c＜0，
∴a-c＞0，
∴|AB|=1-$\frac{c}{a}$，
由（1）知，-2＜$\frac{c}{a}$＜-$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{3}{2}$＜1-$\frac{c}{a}$＜3，即$\frac{3}{2}$＜|AB|＜3，
∴|AB|的取值范围为（$\frac{3}{2}$，3）．

点评 本题考查了二次函数的性质，注意抓住二次函数的开口方向，对称轴，以及判别式的考虑．同时考查了函数的零点与方程根的关系，函数的零点等价于对应方程的根，等价于函数的图象与x轴交点的横坐标，解题时要注意根据题意合理的选择转化．属于中档题．