Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC⊥侧面AA₁C₁C，AC=BC=1，CC₁=2， ∠CAA₁= ，D、E分别为AA₁、A₁C的中点．

（1）求证：A₁C⊥平面ABC；（2）求平面BDE与平面ABC所成角的余弦值．

Answer 1

（1）通过余弦定理来证明AC⊥A₁C，以及结合题目中的BC⊥A₁C来得到证明。
（2）

试题分析：解：（1）证明：∵BC⊥侧面AA₁C₁C，A₁C在面AA₁C₁C内，∴BC⊥A₁C．  2分
在△AA₁C中，AC=1，AA₁=C₁C=2，∠CAA₁=，
由余弦定理得A₁C²=AC²+-2AC•AA₁cos∠CAA₁=1²+2²-2×1×2×cos=3， 
∴A₁C=   ∴AC²+A₁C²=AA₁²   ∴AC⊥A₁C                 5分
∴A₁C⊥平面ABC．                                            6分
（2）由（Ⅰ）知，CA，CA₁，CB两两垂直
∴如图，以C为空间坐标系的原点，分别以CA，CA₁，CB所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，B(0，0，1)，A(1，0，0)，A₁(0，，0)
由此可得D(，，0)，E(0，，0)，=（，，-1），=(0，，-1)．
设平面BDE的法向量为=(x，y，z)，则有令z=1，则x=0，y=
∴=(0，，1)          9分
∵A₁C⊥平面ABC   ∴=(0，，0)是平面ABC的一个法向量        10分
∴    
∴平面BDE与ABC所成锐二面角的余弦值为．       12分
点评：主要是考查了空间中线面位置关系，以及二面角的平面角的求解的综合运用，属于中档题。