Question

已知某几何体的直观图和三视图如下图所示, 其正视图为矩形,左视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.（1）证明：⊥平面（2）求平面与平面所成角的余弦值；

Answer 1

（1）通过建系证明，．得到,.故⊥平面.
（2）二面角C－NB₁－C₁的余弦值为．

试题分析：（1）证明:∵该几何体的正视图为矩形,左视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形,∴两两垂直.以分别为轴建立空间直角坐标系如图．

则．
∴，
．∴,.
又与相交于， ∴⊥平面. ………6分
（2）∵⊥平面,∴是平面的一个法向量,  
设为平面的一个法向量,则,
所以可取． 则．
∴所求二面角C－NB₁－C₁的余弦值为．  12分
点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离的计算。证明过程中，往往需要将立体几何问题转化成平面几何问题加以解答。本题解答，通过建立适当的空间直角坐标系，利用向量的坐标运算，简化了繁琐的证明过程，实现了“以算代证”，对计算能力要求较高。