【题目】如图,在四棱锥中,底面
为菱形,
,
,且
.
(1)求证:平面平面
;
(2)若,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)见解析; (2).
【解析】
(1)先根据计算得线线线线垂直,再根据线面垂直判定定理以及面面垂直判定定理得结论,(2)建立空间直角坐标系,利用空间向量求二面角.
(1)证明:取中点
,连结
,
,
,
因为底面为菱形,
,所以
.
因为为
的中点,所以
.
在△中,
,
为
的中点,所以
.
设,则
,
,
因为,所以
.
在△中,
,
为
的中点,所以
.
在△ 和△
中,因为
,
,
,
所以△
△
.
所以.所以
.
因为,
平面
,
平面
,
所以平面
.
因为平面
,所以平面
平面
.
(2)因为,
,
,
平面
,
平面
,
所以平面
.所以
.
由(1)得,
,所以
,
,
所在的直线两两互相垂直.
以为坐标原点,分别以
所在直线为
轴,
轴,
轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设,则
,
,
,
,
所以,
,
,
设平面的法向量为
,
则 令
,则
,
,所以
.
设平面的法向量为
,
则 令
,则
,
,所以
.
设二面角为
,由于
为锐角,
所以
.
所以二面角的余弦值为
.
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【题目】在直角坐标系中,以坐标原点
务极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
,
(1)求曲线,
的直角坐标方程;
(2)曲线和
的交点为
,
,求以
为直径的圆与
轴的交点坐标.
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【题目】某乐园按时段收费,收费标准为:每玩一次不超过小时收费10元,超过
小时的部分每小时收费
元(不足
小时的部分按
小时计算).现有甲、乙二人参与但都不超过
小时,甲、乙二人在每个时段离场是等可能的。为吸引顾客,每个顾客可以参加一次抽奖活动。
(1) 用表示甲乙玩都不超过
小时的付费情况,求甲、乙二人付费之和为44元的概率;
(2)抽奖活动的规则是:顾客通过操作按键使电脑自动产生两个[0,1]之间的均匀随机数,并按如右所示的程序框图执行.若电脑显示“中奖”,则该顾客中奖;若电脑显示“谢谢”,则不中奖,求顾客中奖的概率.
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【题目】在直角坐标系中,倾斜角为
的直线
的参数方程为
(
为参数).在以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求直线的普通方程与曲线
的直角坐标方程;
(2)若直线与曲线
交于
,
两点,且
,求直线
的倾斜角.
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
,点
是椭圆上任意一点,
的最小值为
,且该椭圆的离心率为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若是椭圆
上不同的两点,且
,若
,试问直线
是否经过一个定点?若经过定点,求出该定点的坐标;若不经过定点,请说明理由.
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【题目】如图,在直角梯形SABC中,,D为边SC上的点,且
,现将
沿AD折起到达
的位置(折起后点S记为P),并使得
.
(1)求证:平面ABCD;
(2)设,
①若点E在线段BP上,且满足,求平面EAC与平面PDC所成的锐二面角的余弦值
②设G是AD的中点,则在内(含边界)是否存在点F,使得
平面PBC?若存在,确定点F的位置,若不存在,请说明理由.
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