Question

【题目】已知函数，.

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）.

【解析】

（1）根据解析式求得切点，利用导数求得切线斜率，从而可求得切线方程；（2）将问题转化为在上恒成立；当单调递减时满足题意，即恒成立即可，从而可求得；当时，单调递增，不符合题意；当时，可证得在上单调递增，不满足题意；综合三种情况可得.

（1）当时，，则

故，又

故所求切线方程为，即

（2）由题意得，在上恒成立

设函数，则

故对任意，不等式恒成立

①当，即恒成立时，函数在上单调递减

设，则

，即，解得，符合题意；

②当时，恒成立，此时函数在上单调递增

则不等式对任意恒成立，不符合题意；

③当时，设，则

令，解得

当时，，此时单调递增

故当时，函数单调递增

当时，成立，不符合题意.

综上所述，实数的取值范围为