Question

（2006•朝阳区二模）已知向量

m

=（cos

x

3

，

3

cos

x

3

），

n

=（sin

x

3

，cos

x

3

），函数f（x）=

m

•

n

．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）如果△ABC的三边a、b、c满足b²=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（I）由向量的数量积公式，结合三角恒等变换公式化简得f（x）=

m

•

n

=sin（

2x

3

+

π

3

）+

3

2

；
（II）由正弦函数的图象与性质，解不等式2kπ-

π

2

≤

2x

3

+

π

3

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），即可求出f（x）的单调递增区间为[3kπ-

5π

4

，3kπ+

π

4

]（k∈Z）；
（III）利用余弦定理和基本不等式，算出cosx≥

1

2

，从而得出x∈（0，

π

3

]．再求f（x）=sin（

2x

3

+

π

3

）+

3

2

在区间（0，

π

3

]上的最大最小值，即可算出函数f（x）的值域．

解答：解：（Ⅰ）∵向量

m

=（cos

x

3

，

3

cos

x

3

），

n

=（sin

x

3

，cos

x

3

），
∴f（x）=

m

•

n

=cos

x

3

sin

x

3

+

3

cos²

x

3

=

1

2

cos2

2x

3

+

3

2

(1+cos2x)=sin（

2x

3

+

π

3

）+

3

2

．…（5分）
（Ⅱ）由2kπ-

π

2

≤

2x

3

+

π

3

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），得3kπ-

5π

4

≤x≤3kπ+

π

4

（k∈Z）．
∴f（x）的单调递增区间为[3kπ-

5π

4

，3kπ+

π

4

]（k∈Z）．…（9分）
（Ⅲ）cosx=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

2a c -ac

2ac

=

1

2

，
∵x是△ABC的内角，可得x∈（0，

π

3

]．
∴

2x

3

+

π

3

∈（

π

3

，

5π

9

]，可得

3

2

≤sin（

2x

3

+

π

3

）≤1
∴f（x）的值域是（

3

，1+

3

2

]．…（13分）

点评：本题着重考查了向量的数量积运算公式、三角函数的图象与性质、余弦定理解三角形和基本不等式求最值等知识，属于中档题．