Question

某小区想利用一矩形空地ABCD建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一水塘（如图中阴影部分），水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中AD=60m，AB=40m，且△EFG中，∠EGF=90°，经测量得到AE=10m，EF=20m．为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏．设计时经过点G作一直线交AB，DF于M，N，从而得到五边形MBCDN的市民健身广场，设DN=x（m）
（1）将五边形MBCDN的面积y表示为x的函数；
（2）当x为何值时，市民健身广场的面积最大？并求出最大面积．

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用

专题：应用题,不等式的解法及应用

分析：（1）作GH⊥EF，垂足为H，过M作MT∥BC交CD于T，求出AM=

600-10x

40-x

，可得S_MBCDW=S_MBCT+S_MTDN=(40-AM)×60+

1

2

(x+60)×AM，从而可得五边形MBCDN的面积y表示为x的函数；
（2）将函数变形，利用基本不等式，可求市民健身广场的面积最大值．

解答： 解：（1）作GH⊥EF，垂足为H，
因为DN=x，所以NH=40-x，NA=60-x，
因为

NH

HG

=

NA

AM

，
所以

40-x

10

=

60-x

AM

，所以AM=

600-10x

40-x

…（2分）
过M作MT∥BC交CD于T，
则S_MBCDW=S_MBCT+S_MTDN=(40-AM)×60+

1

2

(x+60)×AM，
所以y=(40-

600-10x

40-x

)×60+

1

2

×

(x+60)(600-10x)

40-x

=2400-

5(60-x)2

40-x

…（7分）
由于N与F重合时，AM=AF=30适合条件，故x∈（0，30]，…（8分）
（2）y=2400-

5(60-x)2

40-x

=2400-5[(40-x)+

400

40-x

+40]，…（10分）
所以当且仅当40-x=

400

40-x

，即x=20∈（0，30]时，y取得最大值2000，…（13分）
所以当DN=20m时，得到的市民健身广场面积最大，最大面积为2000m²．…（14分）

点评：基本不等式应注意其使用条件：一正二定三相等．