Question

已知函数f（x）=

3

sinωx+cosωx-1（ω＞0）相邻两个最大值间的距离为π，
（1）求ω的值；
（2）求f（x）在区间[-π，0]上的所有零点之和．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用三角恒等变换可求得f（x）=2sin（ωx+

π

6

）-1，相邻两个最大值间的距离为

T

2

知其最小正周期T=π，于是可得ω的值；
（2）由（1）可知f（x）=2sin（2x+

π

6

）-1，令f（x）=0得sin（2x+

π

6

）=

1

2

，可求得x=kπ或x=kπ+

π

3

（k∈Z），x∈[-π，0]，从而可求得f（x）在区间[-π，0]上的所有零点之和．

解答： 解：（1）由题意得函数f(x)=2(sinωx•

3

2

+cosωx•

1

2

)=2sin(ωx+

π

6

)-1，（辅助角公式）
又相邻两个最大值间的距离为

T

2

知其最小正周期T=π，（图象的特征）
所以

2π

ω

=π，ω=2．（最小正周期公式）…（5分）
（2）由（1）可知f（x）=2sin（2x+

π

6

）-1，
令f（x）=0得sin(2x+

π

6

)=

1

2

，（零点转化为方程）
所以2x+

π

6

=2kπ+

π

6

或2x+

π

6

=2kπ+

5π

6

，k∈Z．（由三角函数值得角度）
解得x=kπ或或x=kπ+

π

3

（k∈Z）…（9分）
因为x∈[-π，0]，所以零点有x1=-π，x2=-

2π

3

，x3=0．（据范围得具体角度）
所以f（x）在区间[-π，0]上的所有零点之和为-

5π

3

…（12分）

点评：本题考查三角恒等变换应用，考查正弦函数的图象与性质，考查等价转化思想与方程思想的综合应用，考查运算求解能力，属于中档题．