Question

如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁（侧棱与底面垂直的三棱柱为直三棱柱）中，CA=CB，D，D₁，E分别为边AB，A₁B₁，BC₁的中点．
（1）求证：平面ABC₁⊥平面DCC₁D₁；
（2）若D₁在平面ABC₁的射影F在边AE上，且

AA 1

AB

=

1

2

，求直线AD₁与平面ABC₁所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,平面与平面垂直的判定

专题：计算题,证明题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）运用线面垂直的判定定理和性质定理，以及面面垂直的判定定理即可证得；
（2）由（1）的结论和D₁在平面ABC₁的射影F在边AE上，得到F为△ABC₁的重心，运用射影定理知，D₁C₁=

2

DD₁
设DD₁=a，求出D₁F、AD₁的长，由直线与平面所成的角的定义得到∠D₁AF是所成的角，求出正弦值即可．

解答： （1）证明：∵CA=CB，D为AB的中点，∴CD⊥AB，
∵CC₁⊥平面ABC，∴CC₁⊥AB，∴AB⊥平面DCC₁D₁，
∵AB?平面ABC₁，∴平面ABC₁⊥平面DCC₁D₁；
（2）解：由（1）平面ABC₁⊥平面DCC₁D₁，
∴D₁在平面ABC₁上的射影F在交线C₁D上，
已知F也在AE上，且C₁D，AE为△ABC₁的中线，
∴F为△ABC₁的重心，且

C1F

=2

FD

，
∵在△DD₁C₁中，∠DD₁C₁为直角，D₁F⊥DC₁，
利用射影定理知，D₁C₁=

2

DD₁，设DD₁=a，则D₁C₁=

2

a，D₁F=

6

3

a，AD=a，AD₁=

2

a，
∴sin∠D₁AF=

6 3 a

2 a

=

3

3

，即直线AD₁与平面ABC₁所成的角的正弦值为

3

3

．

点评：本题主要考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面垂直的判定和性质，以及面面垂直的判定，同时考查空间的角：直线与平面所成的角，考查基本的运算能力，属于中档题．